Přehled matiky k maturitě

• Geometrická posloupnost (an)∞

n=1 s koeficientem q je

1. rostoucí, právě když

a1 > 0, q > 1 nebo a1 < 0, q < 1;

2. klesající, právě když

a1 > 0, q < 1 nebo a1 < 0, q > 1.

• Geometrická posloupnost (an)∞

n=1 s koeficientem q

1. je omezená, právě když

|q| ≤ 1 nebo a1 = 0;

2. je zdola omezená, ale není shora omezená, právě když

a1 > 0, q > 1;

KAPITOLA 8. POSLOUPNOSTI A ŘADY

29

3. je shora omezená, ale není zdola omezená, právě když

a1 < 0, q > 1;

4. není zdola omezená,ani shora omezená, právě když

a1 6= 0, q < −1;

8.1.7

Limita poloupnosti

Def.: Číslo a se nazývá limita posloupnosti (an)∞

n=1, právě když ∀ε > 0 ∃n0 ∈N tak, že ∀n ∈N;

n ≥ n0; |an − a| < ε

→

an∈(a−ε;a+ε)

Posloupnost se nazývá konvergentní jestliže má limitu.
Posloupnost, která není konvergentní, se nazývá divergentní

Zápis limity: lim

n→∞

an = a

Věta: Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu
Věta: Každá konvergentní posloupnost je omezená

an ≥ min(a − ε; m)

an ≤ max(a + ε; M)

lim

n→∞

(an + bn) = lim

n→∞

an + lim

n→∞

bn = a + b

Věta: Jestliže posloupnosti (an)∞

n=1; (bn)

∞

n=1 jsou konvergentní a při tom lim

n→∞

an = a, lim

n→∞

bn = b,

pak je konvergentní i posloupnost (an + bn)∞

n=1 a platí

(an + bn) = lim

n→∞

an + lim

n→∞

bn = a + b

Věta: Mějme posloupnosti (an)∞

n=1; (bn)

∞

n=1, které jsou konvergentní a nechť lim

n→∞

an = a, lim

n→∞

bn = b,

pak jsou konvergentní i posloupnosti (an − bn)∞

n=1, (an · bn)

∞

n=1, (c · an)

∞

n=1, kde c je libovolné reálné

číslo, ( an

bn )

∞

n=1, kde b, bn 6= 0 pro ∀n ∈ N a platí

• lim