Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Weirstrassova věta: Je-li fce f spojitá v uzavřeném intervalu ha; bi, pak
∃x1, x1 ∈ ha; bitak, že ∀x ∈ ha; bi; f(x1) ≤ f(x)
∃x2, x2 ∈ ha; bitak, že ∀x ∈ ha; bi; f(x2) ≥ f(x)
Bod x1 nazveme minimem a bod x2 nazveme maximem fce f v intervalu ha; bi.
Věta: Je-li fce f spojitá v ha; bi platí
f (a) · f (b) < 0 pak ∃c ∈ ha; bi; f (c) = 0
Kapitola 12
Limity
12.1
Základní vztahy
Def.: Fce f má v bodě a limitu L jestliže k libovolně zvolenému bodu L existuje okolí bodu a tak, že
∀x 6= a z tohoto okolí náleží hodnoty f (x) zvoleném okolí bodu L.
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ(a); |f(x) − L| < ε
L = lim
x→a
f (x)
Věta: Fce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.
Věta: Fce f je v bodě a spojitá ⇔ lim
x→a
f (x) = f (a)
Věta o limitě dvou fcí: Jestliže ∀x ∈ Pδ(a); f(x) = g(x) a lim
x→a
g(x) = L pak platí
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(a)
• lim
x→a
P (x)
Q(x)
= lim
x−a
x − a
x − a
·
P1(x)
Q1(x)
, kde P ,P1,Q a Q1 jsou polynomy.
Věta o třech limitách: Nechť ∀x ∈ Pδ(a) a f(x) < g(x) < h(x) a lim
x→a
f (x) = lim
x→a
h(x) = L, pak
existuje lim g(x) a lim
x→a
g(x) = L
* lim
x→0
sin x
x
= lim
x→0
x
sin x
= 1
lim
x→0
sin(kx)
kx
= 1
lim
x→0
sin(ax)
bx
=
a
b
* lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
* lim
x→0
ex − 1
x
= 1
* lim
x→∞
µ
1 +
1
x
¶x
= lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e
* lim
n→∞
µ
1 +
x
n
¶n
= ex
* lim
n→∞
n
³
x
1
n
− 1
´
= ln x
Věta: Je-li lim
x→a
f (x) = A a lim
x→a
g(x) = B, pak platí
• lim
x→a
[f (x) + g(x)] = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x) = A + B
• lim
x→a
[f (x) − g(x)] = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x) = A − B