Přehled matiky k maturitě

∃c ∈ (a; b); f 0(c) =

f (b) − f (a)

b − a

→ tečna k se spojnicí ab

Věta: Je-li f 0(x) = 0 pro ∀x ∈ (a; b), pak je v (a; b) f konstantní

Je-li f 0(x) > 0 pro ∀x ∈ (a; b), pak je v (a; b) f rostoucí
Je-li f 0(x) < 0 pro ∀x ∈ (a; b), pak je v (a; b) f klesající

Extrémy fce:
Je-li f 0(c) = 0, daná fce je podezřelá, že má v bodě c extrém. Bod c se nazývá stacionární bod.

Def.: Fce f má v bodě x0 lokální minimum existuje-li něj. okolí bodu x0, ve kterém platí

∀x ∈ ∪x

0 ; f (x) ≥ f (x0)

Fce f má v bodě x0 lokální maximum existuje-li něj. okolí bodu x0, ve kterém platí

∀x ∈ ∪x

0 ; f (x) ≤ f (x0)

KAPITOLA 13. DERIVACE

51

Ostré lokální maximum/minimum

∀x ∈ Px

0 ;

f (x) < f (x0)
f (x) > f (x0)

Věta: Má-li fce f v bodě c lokální extrém, pak musí platit buď f 0(c) = 0 nebo v bodě c není

derivace.

Věta: Nechť f 0(x0) = 0 a nechť v x0 existuje i druhá derivace. Je-li

f 00(x0) < 0; x0

→

lokální maximum

f 00(x0) > 0; x0

→

lokální minimum

Def.: Nechť M je množina reálných čísel. Číslo β se nazývá suprémum (horní hranice) množiny M

platí-li:

1. ∀x ∈ M; x ≤ β

2. Má-li něj. γ takovou vlastnost, že ∀x ∈ M; x ≤ γ

⇒

β ≤ γ

Def.: Nechť M je množina reálných čísel. Číslo α se nazývá infimum (dolní hranice) množiny M

platí-li:

1. ∀x ∈ M; x ≥ α

2. Má-li něj. δ takovou vlastnost, že ∀x ∈ M; x ≥ δ

⇒

α ≥ δ

Konvexnost a konkávnost fce:
Def.: Fce f je konvexní v bodě x0, jestliže ∀x ∈ Px

0 platí, že všechny body grafu fce f leží ”nad”