Přehled matiky k maturitě
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Def.: Suprémum množiny všech dolních součtů příslušných k omezené fci f definované na ha; bi a ke
všem možným rozdělením tohoto intervalu, budeme nazývat dolní Riemannův integrál.
b
Z
a
f (x)dx
Def.: Infimum množiny všech horních součtů příslušných k omezené fci f definované na ha; bi a ke
všem možným rozdělením tohoto intervalu, budeme nazývat horní Riemannův integrál.
b
Z
a
f (x)dx
Věta:
b
Z
a
f (x)dx ≤
b
Z
a
f (x)dx
KAPITOLA 14. INTEGRÁLNÍ POČET
56
Def.: Budeme říkat, že fce f je integrovatelná (dle Riemanna) na ha; bi právě když platí
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx.
Společnou hodnotu dolního a horního integrálu budeme nazývat Riemannův integrál na ha; bi a budeme
ho označovat
(R)
b
Z
a
f (x)dx
vlastnosti:
∗
b
Z
b
(f (x) + g(x))dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
f (x)dx
∗
b
Z
a
c · f (x)dx = c ·
b
Z
a
f (x)dx
∗ g(x) = −f (x) →
b
Z
a
f (x)dx = P
∧
b
Z
a
g(x)dx = Q
⇒
P = −Q
a
b
P
Q
f (a)
f (b)
g(a)
g(b)
f (x)
g(x)
Plocha vytvořená fcí pod osou x je záporná a nad osou x je
kladná.
∗ P =
c
Z
a
f (x)dx +
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d
Z
c
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
b
Z
d
f (x)dx
a
b
d
c
f (x)
Věta: Je-li fce f nezáporná spojitá na ha; bi potom platí
b
Z
a
f (x)dx ≥ 0.
KAPITOLA 14. INTEGRÁLNÍ POČET
57
Věta: Mějme 2 fce f a g spojité na ha; bi a platí ∀x ∈ ha; bi; f (x) ≤ g(x) potom
b
Z
a
f (x)dx ≤
b
Z
a
g(x)dx
Newton-Leibnitzova věta:
Nechť f je spojitá na ha; bi, nechť existuje primitivní fce F (x) fce f (x), pak platí
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
Pozn.: Častěji se používá zápis:
b
Z
a
f (x)dx = [F (x)]ba
Věta: Při záměně mezí platí:
b
Z
a
f (x)dx = −
a
Z
b
f (x)dx
Substituce
určitého integrálu:
Věta: Nechť máme fci t = g(x) a nechť g0(x) je spojitá v ha; bi. Je-li fce f (t) je spojitá ∀t = g(x), pak
platí