1_6_Tuhe teleso

Vyjdeme z definičního vztahu 

m

r

J

m

d

∫

=

2

. 

Teď je nejdůležitější si správně zvolit element hmotnosti dm.

Tento element si vyjádříme pomocí elementu plochy  

dm = σ dS = σ dxdy a po dosazení 

S

r

J

S

d

∫

=

2

σ

Měli bychom tedy použít k integrování dvojitý integrál. 

∫

∫

=

b

a

y

x

y

J

0

2

0

d

d

σ

. 

Dvojitý  integrál  ale  není  nutný.  Podívejme  se  pořádně  na  obrázek.  Na  něm  je  jako  element 
plochy  dS  použit  obdélníček  o  straně  a  a  výšce  dy.  Vyhovuje  tato  volba? Odpověď  zní  ano. 
Takto  zvolený  element  totiž  vyhovuje  podmínce  aby 

každý  bod  elementu  dm  měl  stejnou 

vzdálenost od osy otáčení (my jsme si označili tuto vzdálenost ne jako r, ale jako  y. Takže 
použijeme upravený vztah a dostaneme  

3

0

2

3

1

ab

y

y

a

J

b

σ

σ

=

=

∫ d

Podívejte se ještě jednou na zápis 

S

r

J

S

d

∫

=

2

σ

Integrál 

S

r

S

d

∫ 2   představuje  moment  setrvačnosti  desky  vyrobené 

z libovolného materiálu.  

Často se pod pojmem moment setrvačnosti rozumí tento typ vyjádření a to  

V

r

J

V

V

d

∫

=

2

pro objemový moment setrvačnosti 

S

r

J

S

S

d

∫

=

2

pro plošný moment setrvačnosti a  

l

r

J

L

L

d

∫

=

2

143 

pro délkový moment setrvačnosti. 

Momenty  setrvačnosti  vůči  ose  procházející  těžištěm  (označované  jako  JT)  pro  jednoduché 
útvary můžete najít ve strojnických tabulkách. Moment setrvačnosti konkrétní součástky pak 
dostanete vynásobením momentu uvedeného v tabulce její hustotou. 

Často  potřebujete  stanovit  moment  setrvačnosti  J  vůči  ose  neprocházející  těžištěm.  Pokud 
znáte  nebo  najdete  moment  setrvačnosti  vůči  ose  jdoucí  těžištěm  JT  pak  vám  pomůže 
Steinerova věta.