2. Analýza přechodných jevů

.

Hledaný činitel útlumu má hodnotu

.

ad b) Po připojení obvodu k harmonickému zdroji u0 = Um sin(ωt+ψU) budou po odeznění přechodného děje ustálené hodnoty harmonické. Ustálenou okamžitou hodnotu proudu RLC obvodu, která je partikulárním řešením nehomogenní rovnice, určíme transformací řešení do komplexní roviny, kde časový průběh napětí zdroje reprezentuje fázor Ûo = Um/√2 ejψU = U ejψU a parametry obvodu impedanci . Fázor proudu určíme ze vztahu

.

Po vynásobení tohoto fázoru proudu komplexní periodickou funkcí ejωt, získáme komplexní, časovou funkci, komplexor proudu ve tvaru a zpětnou transformací na základě Eulerova vztahu, volbou imaginární části tohoto komplexoru, získáme partikulární řešení nehomogenní diferenciální rovnice 2. řádu RLC obvodu

Hodnoty integračních konstant C1 a C2 určíme z úplného řešení nehomogenní rovnice RLC obvodu a matematických počátečních podmínek , z následující soustavy rovnic

,

ze které např. Cramerovým pravidlem stanovíme konstanty

kde hodnotu určíme z výchozí rovnice obvodu

takže pro derivaci proudu v počátku platí

.

Po dosazení konstant C1 a C2 do řešení homogenní rovnice můžeme toto řešení rozepsat na dvě části

,

kde první dva členy jsou shodné s řešením odvozeným pro stejnosměrné buzení RLC obvodu.

Dosazením dvou reálných kořenů získáme řešení homogenní rovnice

a pro komplexně sdružené kořeny řešení v podobě komplexní funkce reálné proměnné t

Jsou-li počáteční podmínky stavových veličin nulové, tj. a , zjednoduší se obě řešení homogenní rovnice na funkce

a

Úplné řešení má pro dva reálné kořeny tvar

a pro komplexně sdružené kořeny

Okamžité hodnoty napětí obvodových prvků RLC obvodu pro dva reálné kořeny získáme aplikací Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona

Z odvozených funkcí je zřejmé, že přechodná složka se v RLC obvodu vyvine vždy a závisí na hodnotě argumentu impedance obvodu ϕΖ (fázový posun obvodu) a okamžiku připojení obvodu k harmonickému zdroji napětí, kterému odpovídá počáteční fáze napětí ψU v okamžiku sepnutí spínače S na obr. 2. 31. Vliv počáteční fáze na okamžik připojení obvodu ke zdroji si ukažme na grafech okamžitých hodnot aperiodických odezev obvodových veličin pro případy a , zobrazené v uvedeném pořadí na obr. 2.38, 2.39 a obr. 2.40, 2.41, při kterých rozdíl v argumentech harmonických funkcí nabývá hodnot 0 a π/2. Těmto hodnotám argumentů, v uvedeném pořadí, odpovídají nejmenší a největší okamžité hodnoty přechodné složky veličin obvodu, jejichž velikost je dobře patrná z grafů obr. 2.38 a 2.40.

Obr. 2.38 Přechodný děj RLC obvodu, připojení harmonického zdroje napětí, nulové počáteční podmínky: aperiodická odezva proudu

Obr. 2.39 Přechodný děj RLC obvodu, připojení harmonického zdroje napětí, nulové počáteční podmínky, aperiodická odezva: okamžité hodnoty napětí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje