2. Analýza přechodných jevů

.

Její obecné řešení až na integrační konstanty určíme pomocí kořenů charakteristické rovnice

.

Kořeny kvadratické rovnice jsou

,

kde α je konstanta útlumu a ωo rezonanční úhlový kmitočet, vedený cizím zdrojem. Podle hodnot obvodových parametrů mohou nastat tyto případy kořenů:

1) reálné pro ,

2) dvojnásobný reálný kořen pro ,

3) komplexně sdružené kořeny

pro .

Člen nazýváme vlastním úhlovým kmitočtem obvodu, který je buzený změnou jeho topologické struktury, který je při nenulovém tlumení vždy menší než rezonanční úhlový kmitočet obvodu. Poznamenejme, že úhlové kmitočty vlastních a rezonančních kmitů jsou totožné jen při nulovém tlumení obvodu, tedy v LC obvodu.

Obecné řešení homogenní rovnice pro kořeny 1) a 3) má tvar

a pro dvojnásobný kořen

.

Hodnoty integračních konstant určíme z matematických počátečních podmínek , a úplného řešení nehomogenní rovnice RLC obvodu. První podmínka je i podmínkou fyzikální, druhou určíme z obou fyzikálních počátečních podmínek pro jednotlivé případy buzení, viz postup níže.

Analýzou řešení s dvojnásobným kořenem se nebudeme zabývat, protože ho v praxi nelze realizovat, s ohledem na závislost technických realizací obvodových prvků na parametrech okolí, tedy na nestabilitu jejich parametrů. Řekněme si jen, že mu odpovídá nejkratší doba trvání přechodného jevu, tj., že řešení se nejrychleji blíží ustálené hodnotě proudu.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu, závisí na tvaru budícího napětí u0. Omezme se na tyto dva případy

1. buzení stejnosměrným zdrojem, u0 = U,

2. buzení harmonickým zdrojem, u0 = Um sin(ωt + ψU).

ad a) V případě připojení RLC obvodu k stejnosměrnému zdroji je partikulární řešení nulové, jelikož na pravé straně nehomogenní rovnice vystupuje derivace stejnosměrného napětí U. Obecné řešení je i řešením úplným, takže platí a hodnoty integračních konstant určíme z matematických počátečních podmínek , .

Pro integrační konstanty C1 a C2 platí následující soustava rovnic

,

,

ze které např. Cramerovým pravidlem stanovíme konstanty

,

,

kde hodnotu určíme z výchozí rovnice obvodu

,

takže pro derivaci proudu v počátku platí

.

Pro zpřehlednění zápisu funkcí obvodových veličin RLC obvodu využijme vztahy pro rozdíl kořenů charakteristické rovnice

nebo

(zápis vlevo reálné, vpravo komplexní kořeny) a jejich součin

nebo .

Pro reálné kořeny definujeme časové konstanty obvodu

,

a jejich rozdíl a součin

, resp. .

Řešení diferenciální rovnice pro dva reálné kořeny má tvar

a pro komplexně sdružené kořeny v podobě komplexní funkce reálné proměnné t

.

Jsou-li počáteční podmínky stavových veličin nulové, tj. a , zjednoduší se obě proudové odezvy obvodu, zobrazené na obr. 2.32 a 2.33, do tvaru