2. Analýza přechodných jevů

a po dosazení Ohmova zákona nebo Faradayova zákona za společnou veličinu obvodu proud , získáme buď rovnici

s proudovou odezvou nebo

s odezvou, napětím induktoru. Pro popis obvodu si zvolme matematický model obvodu daný nehomogenní diferenciální rovnicí 1. řádu s hledanou odezvou, proudem induktoru, který je stavovou veličinou obvodu. Obecná homogenní rovnice

,

kterou získáme z nehomogenní rovnice dosazením za budící napětí uo = 0 V a která popisuje chování obvodu v přechodném ději. Její obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristické rovnice

ve tvaru

,

kde časová konstanta τ je definována podílem τ = L/R.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledejme opět pro případy

1. buzení stejnosměrným zdrojem, u0 = U,

2. buzení harmonickým zdrojem, u0 = Um sin(ω t + ψU).

ad a) Po připojení obvodu ke stejnosměrnému zdroji budou po ode znění přechodného děje ustálené hodnoty stejnosměrné. Ustálená hodnota proudu induktoru, která je partikulárním řešením nehomogenní rovnice, je , protože induktor se chová ve stejnosměrném obvodu jako zkrat. Prakticky to znamená, že v původní nehomogenní rovnici neuvažujeme složku s derivací 1. řádu, protože změna napětí induktoru v ustáleném stavu stejnosměrného obvodu je nulová.

Úplné řešení má tvar

.

Konstantu C1 určíme pomocí známé počáteční podmínky i(0)

,

,

takže úplné řešení má konečný tvar po normování

a byl-li induktor bez proudu

.

Průběh proudu induktoru s nulovým počátečním proudem je na obr. 2.20. Z jeho grafu je zřejmé, že přechodný děj končí prakticky za dobu několika časových konstant. V čase t = τ proud induktoru dosáhne asi 63,2 % (přesně (1-e-1) tiny) ustálené hodnoty proudu IR, v časech t = 3τ se přiblíží na 5 %, t = 5τ na 1 %, t = 7τ na 0,1 % k ustálené hodnotě proudu. Rovnice tečny průběhu proudu stanovená v počátku nám poslouží k vyložení významu časové konstanty. Směrnici určíme derivací proudu induktoru s nulovým počátečním proudem

,

kde po dosazení za čas t = 0 s získáme směrnici a rovnici tečny v počátku

.

Směrnice je kladná, takže proud induktorem narůstá. Dosadíme-li za čas časovou konstantu obvodu tj. t = τ, hodnota proudu tečny v tomto časovém okamžiku je it = IR, tedy má ustálenou hodnotu proudu obvodu. Sklon směrnice při dané časové konstantě ovlivňuje velikost proudu IR, viz obr. 2.20. Směrnice závisí na napětí zdroje a odporu rezistoru obvodu. Jiná interpretace časové konstanty potom říká, že je to doba, za kterou dosáhne proud induktoru s nulovým počátečním proudem (1-e-1) tiny tj. asi 63,2 % své ustálené hodnoty.

Obr. 2.20 Přechodný děj LR obvodu, připojení stejnosměrného zdroje napětí, nulové počáteční podmínky: okamžité hodnoty proudu

Okamžitou hodnotu napětí rezistoru stanovíme užitím Ohmova zákona