2. Analýza přechodných jevů

Určete počáteční hodnoty a směrnice stavových veličin obvodu na obrázku, je-li na počátku přechodného děje kapacitor vybitý.

Obr. 2.4 Počáteční podmínky přechodného děje, úloha k řešení 2.1

Řešení:

Nejprve si do zadaného obvodového schématu zakreslíme počítací šipky, viz obr. 2.5.

Obr. 2.5 Analýza počátečních podmínek přechodného děje, čas t → 0+, úloha k řešení 2.1

Jak již víme, stavové veličiny se mění spojitě, takže mají bezprostředně před (čas t → 0– ) a ihned po (čas t → 0+) začátku přechodného děje stejné okamžité hodnoty. Jelikož je kapacitor vybitý, má jeho počáteční napětí hodnotu

.

Proud induktoru v čase je omezen jen rezistory obvodu viz příklad 2.1 , takže jeho počáteční hodnota je dána

.

Směrnice, se kterými se stavové veličiny mění, jsou dány

,

,

takže k jejich stanovení potřebujeme ještě určit proud nezávislého uzlu 1 na obr. 2.5 užitím 1. Kirchhoffova zákona

a napětí ve smyčce S2 užitím 2. Kirchhoffova zákona

.

Po dosazení do definic obdržíme

,

.

Z hodnot směrnic vidíme, že na počátku přechodného děje napětí na kapacitoru narůstá a proud induktoru klesá.

1. Analýza obvodů 1. řádu

Obvod 1. řádu obsahuje rezistory a jeden akumulační prvek kapacitor nebo induktor.

• RC obvod

Náhradní schéma jednoduchého RC obvodu připojeného ke zdroji napětí uo v čase t = 0 s je na obr. 2.6 vlevo. Nejdříve analyzujme situaci před sepnutím spínače S (čas ). Kapacitor o kapacitě C může být obecně nabit na napětí uC(0), což zachycuje ekvivalentní náhradní zapojení na obr. 2.6 vpravo.

Obr. 2.6 Přechodný děj RC obvodu: schéma zapojení, ekvivalentní obvodový model kapacitoru

Po sepnutí spínače S, kdy uS = 0 V, platí podle 2. Kirchhoffova zákona pro čas

a po dosazení Ohmova zákona nebo rovnice kontinuity za společnou veličinu obvodu, tedy proud , získáme buď rovnici

s hledanou odezvou, proudem nebo

s hledanou odezvou, napětím kapacitoru. Pro popis obvodu si zvolme matematický model obvodu daný nehomogenní diferenciální rovnicí 1. řádu s hledanou odezvou, napětím kapacitoru, které je stavovou veličinou obvodu. Obecná homogenní rovnice

,

kterou získáme z nehomogenní rovnice dosazením za budící napětí uo = 0 V a která popisuje chování obvodu v přechodném ději. Její obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristické rovnice

ve tvaru

,

kde τ je charakteristický parametr obvodu nazývaný časová konstanta, která je v našem případě definována součinemτ = RC. Její význam bude vyložen později.

Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu, získáme dosazením konkrétního případu budícího napětí u0. Omezme se na tyto dva případy

1. buzení stejnosměrným zdrojem, uo = U,

2. buzení harmonickým zdrojem, uo = Um sin(ω t + ψU).

ad a) Po připojení obvodu ke stejnosměrnému zdroji budou po odeznění přechodného děje ustálené hodnoty stacionární čili stejnosměrné. Ustálená hodnota napětí kapacitoru, která je partikulárním řešením nehomogenní rovnice, je , protože se kapacitor nabije na hodnotu napětí stejnosměrného zdroje, dojde tím k vyrovnání napětí obvodu a přerušení proudu obvodu. Prakticky to znamená, že v původní nehomogenní rovnici neuvažujeme složku s derivací 1. řádu, protože změna napětí kapacitoru v ustáleném stavu stejnosměrného obvodu je nulová.