2. Analýza přechodných jevů

Matematické metody řešení soustavy rovnic volíme podle složitosti analyzovaného obvodu a řádu diferenciální rovnice. Pokud je to možné, upřednostňujeme exaktní, analytické metody řešení obvodu v podobě algebraických vztahů, které umožňují dělat obecné závěry na rozdíl např. od numerických metod řešení, které provádí analýzu obvodu jen pro konkrétní hodnoty parametrů. Z exaktních metod řešení jmenujme klasický způsob řešení diferenciálních rovnic, na který se zaměříme, neboť má nejblíže fyzikální realitě. Z dalších metod zmiňme alespoň operátorovou metodu, která transformuje soustavu diferenciálních rovnic v časové oblasti na soustavu algebraických rovnic v komplexní rovině, ve které časovým funkcím po transformaci, např. Laplaceově, odpovídají funkce komplexní proměnné, nazývané obrazy. Prakticky to znamená, že obvodové veličiny s nezávislou proměnnou časem tj. napětí u(t) a proud i(t) se po transformaci změní na operátorové veličiny tj. obrazy napětí U(p) a proudu I(p) s nezávislou komplexní proměnnou, v našem případě p. Operátorové veličiny i komplexní proměnná by se sice správně měly zapisovat jako komplexní čísla, ale z důvodu zjednodušení jejich zápisu se tak elektrotechnice neděje. Podílem obrazů obvodových veličin jsou v komplexní rovině definovány i operátorové imitance Z(p), Y(p) , ty ale nemají v časové oblasti své fyzikální vzory.

Klasická metoda je vhodná pro řešení lineárních obvodů popsaných obyčejnou nehomogenní lineární diferenciální rovnicí obecně n-tého řádu s konstantními parametry A0, A1, A2,... An a budící veličinou e na pravé straně ve tvaru

.

Jsou-li parametry obvodu konstantní, obvod je lineární, parametry diferenciální rovnice jsou konstantní a rovnice je lineární. To umožňuje zapsat řešení úplné rovnice s proměnnou v jako superpozici dvou složek řešení, a to obecného řešení vh homogenní rovnice s nulovou pravou stranou a partikulárního řešení vp nehomogenní rovnice, které se dá stanovit substitucí, variací konstant nebo odhadem, což bude náš nejčastější případ, jelikož ve stejnosměrných a harmonických obvodech lze snadno najít řešení obvodu v ustáleném stavu, které je právě partikulárním řešením úplné, nehomogenní rovnice, které obvodu vnucuje budící veličina (zdroj).

Homogenní rovnice popisuje chování obvodu v přechodném ději. Obecné řešení vh rovnice nezávisí na budící veličině (e = 0) a jeho charakter je dán výhradně parametry pasivních větví obvodu. Získáme ho pro řád diferenciální rovnice n >1 přímou integrací, jako lineární kombinací n nezávislých řešení

,

které tvoří fundamentální systém homogenní rovnice. Nezávislá řešení nejsnáze určíme z typu kořenů charakteristické rovnice, kterou obdržíme, nahradíme-li derivace obyčejné homogenní diferenciální rovnice charakteristickým číslem λ, umocněným na řád derivace