2. Analýza přechodných jevů

Úplné řešení má tvar

.

Konstantu C1 určíme pomocí známé počáteční podmínky uC(0)

,

,

takže úplné řešení má konečný tvar po normování

a není-li kapacitor nabit

.

Průběh nabíjení vybitého kapacitoru je na obr. 2.7. Z jeho grafu je zřejmé, že přechodný děj končí prakticky za dobu několika časových konstant. V čase t = τ napětí kapacitoru dosáhne asi 63,2 % (přesně (1-e-1) tiny) ustálené hodnoty napětí U, v časech t = 3τ se přiblíží na 5 %, t = 5τ na 1 %, t = 7τ na 0,1 % k ustálené hodnotě napětí. Rovnice tečny průběhu napětí stanovená v počátku nám poslouží k vyložení významu časové konstanty. Směrnici určíme derivací napětí nenabitého kapacitoru

,

kde po dosazení za čas t = 0 s získáme směrnici a rovnici tečny v počátku

.

Směrnice je kladná, takže napětí na kapacitoru narůstá. Dosadíme-li za čas t časovou konstantu obvodu tj. t = τ, hodnota napětí tečny v tomto časovém okamžiku je ut = U, tedy má ustálenou hodnotu napětí nabitého kapacitoru, v našem případě napětí zdroje. Sklon směrnice podle její rovnice při dané časové konstantě ovlivňuje velikost napětí zdroje viz obr. 2.7 (tečna vykreslená plnou a přerušovanou čarou). Jiná interpretace časové konstanty potom říká, že je to doba, za kterou dosáhne napětí vybitého kapacitoru (1-e-1) tiny tj. asi 63,2 % své ustálené hodnoty.

Obr. 2.7 Přechodný děj RC obvodu, připojení stejnosměrného zdroje napětí, nulové počáteční podmínky: okamžité hodnoty napětí rezistoru, kapacitoru a zdroje

Okamžitou hodnotu proudu obvodu i, zobrazenou na obr. 2.8, získáme derivací napětí kapacitoru podle času

a derivací proudu

směrnici rovnice tečny v počátku (čas t = 0 s) vynesenou na obr. 2.8, která má rovnici

.

Směrnice je záporná, takže proud obvodem klesá, a to k nulové ustálené hodnotě, které prakticky dosáhne za 3-5 časových konstant τ. Hodnota proudu obvodu v čase t = τ klesne z počáteční hodnoty proudu i (0+) = IR = U/R na hodnotu její 1/e tiny tj. asi 36,8 %.

Obr. 2.8 Přechodný děj RC obvodu, připojení stejnosměrného zdroje napětí, nulové počáteční podmínky: okamžité hodnoty proudu

Napětí rezistoru, zobrazené na obr. 2.7, určíme z Ohmova zákona

.

Průběh tohoto napětí je až na měřítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejný jako průběh proudu.

Podle toho, který z úbytků napětí RC obvodu zvolíme za výstupní (odezvu), má přechodová charakteristika derivační nebo integrační charakter. RC obvod nazýváme derivačním článkem, je-li výstupem napětí rezistoru uR a integračním článkem, je-li výstupem napětí kapacitoru uC. Jak vidíme z obr. 2.7, derivačnímu průběhu odpovídá skoková změna napětí v počátku, následovaná exponenciálním poklesem tohoto napětí k nule, integračnímu průběhu odpovídá spojitý, exponenciální nárůst veličiny k ustálené hodnotě napětí.