2. Analýza přechodných jevů

, .

Pro počáteční hodnotu napětí ze zadání platí

.

Časová konstanta má hodnotu

.

Napětí na kapacitoru má hodnotu

Poznamenejme, že větu o náhradním zdroji můžeme použít zpravidla jen u obvodů popsaných diferenciální rovnicí 1. řádu.

Obr. 2.14 Analýza přechodného děje obvodu užitím věty o náhradním zdroji, příklad 2.2

Nyní si ale ukažme postup analýzy obvodu metodu smyčkových proudů pro čas . Zvolíme-li strom obvodu ve větvi s rezistorem R2, potom nezávislé větve jsou větve se zdrojem a kapacitorem, viz obr. 2.13 vpravo. Smyčkové proudy přísluší nezávislým větvím, jejich označení odpovídá obr. 2.13 vpravo a smyčkové rovnice sestavené podle 2. Kirchhoffova zákona jsou

S1: ,

S2: ,

kam dosadíme za úbytky na rezistorech z Ohmova zákona a za napětí kapacitoru rovnici kontinuity ve tvaru

,

čímž získáme soustavu rovnic pro neznámé smyčkové proudy

,

,

kterou upravíme a vynásobíme hodnotami parametrů tak, abychom eliminovali smyčkový proud

, /

, /

tedy

,

,

čímž získáme integrální rovnici, kterou podělíme hodnotou

/,

a zderivujeme podle času

, /

čímž získáme homogenní rovnici, která je současně i rovnicí úplnou

,

kterou můžeme upravit do tvaru

,

a řešit integrováním ( ∫ ) obou stran rovnice

.

„Odlogaritmováním“ získáme řešení homogenní rovnice

,

kde K a A jsou integrační konstanty a τ je časová konstanta definovaná

.

Stejné řešení získáme postupem viz úvod kapitoly 2.1, kdy pro homogenní rovnici sestavíme charakteristickou rovnici, u které umocníme charakteristické číslo λ na řád derivace členu charakteristické rovnice

,

čímž získáme její kořen

,

který dosadíme do řešení

.

Konstantu A určíme z počáteční podmínky

,

.

Z rovnice si vyjádříme proud a dosadíme za proud

ad b) Po připojení obvodu k harmonickému zdroji uo = Um sin(ω t + ψU) budou po odeznění přechodného děje ustálené hodnoty harmonické. Ustálenou okamžitou hodnotu napětí kapacitoru, která je partikulárním řešením nehomogenní rovnice, určíme transformací řešení do komplexní roviny, kde časový průběh napětí zdroje reprezentuje fázor Ûo = Um/√2 ejψU = U ejψU a parametry obvodu impedance . Fázor napětí kapacitoru určíme ze vztahu

Po vynásobení tohoto fázoru napětí komplexní periodickou funkcí ejω t, získáme komplexní, časovou funkci, komplexor napětí kapacitoru ve tvaru a zpětnou transformací na základě Eulerova vztahu, volbou imaginární části tohoto komplexoru, získáme partikulární řešení nehomogenní diferenciální rovnice 1. řádu RC obvodu

Úplné řešení rovnice má tvar

.

Konstantu C1 určíme pomocí známé počáteční podmínky uC(0)

,

,

takže úplné řešení má konečný tvar po normování

a není-li kapacitor nabit

.

Průběh nabíjení nenabitého kapacitoru při ψU = 0 rad a při je zobrazen na obr. 2.15. Z průběhu je zřejmé, že přechodný děj končí prakticky za dobu několika časových konstant, tak jako v případě stejnosměrného obvodu. Přechodná složka nevznikne, bude-li v okamžiku připojení zdroje jeho počáteční fáze napětí ψU rovna argumentu fázového posunu impedance obvodu, tedy obecně při , kde k je přirozené číslo respektující periodicitu funkce tangens. Naopak se plně vyvine, bude-li .