Teorie obvodu II (TOII)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
duC/dt + uC(t)/(RC) = 0
(5)
ve tvaru (index h pro řešení homogenní rovnice)
t
Ch
e
K
t
u
λ
⋅
=
)
(
(6)
Po derivaci vztahu (6) a dosazení do vztahu (4) snadno určíme, že vztah (6) je vždy řešením pro
τ
λ
/
1
)
/(
1
−
=
−
=
−
=
RC
a
(7)
kde
RC
=
τ
(8)
je časová konstanta obvodu RC, její význam bude objasněn dále.
Dále musíme určit nějaké partikulární řešení rovnice (4). Výsledné řešení je superpozicí řešení
homogenní rovnice a řešení partikulárního.
a) Stejnosměrný zdroj napětí u
0
)
(
U
t
=
0
)
(
U
t
u
Předpokládejme, že
=
. Potom partikulární (dílčí) řešení zjistíme snadno pro ustálený stav v
čase t
→ ∞. Pro stejnosměrné poměry nahradíme kapacitor C v ustáleném stavu rozpojeným
obvodem, proto při dané jednoduché konfiguraci obvodu platí (index p pro partikulární řešení)
(9)
0
C
Cp
p
)
(
)
(
)
(
U
u
t
u
t
y
=
∞
=
∞
→
≡
protože rezistorem R již neprotéká žádný proud, na kapacitoru je "celé" napětí zdroje.
Výsledné řešení má tedy tvar
(10)
)
(
)
(
C
/
C
∞
+
⋅
=
−
u
e
K
t
u
t
τ
)
(
)
(
)
0
(
C
C
0
C
∞
+
=
∞
+
⋅
=
−
u
K
u
e
K
u
)
(
)
0
(
C
C
∞
−
=
u
u
K
Řešení obsahuje neznámou konstantu K, kterou ovšem můžeme určit ze známého stavu v čase t = 0:
uC(0-) = uC(0+) = uC(0), tedy platí
. Odsud snadno určíme, že
a v daném případě platí
[
]
)
(
)
(
)
0
(
)
(
C
/
C
C
C
∞
+
⋅
∞
−
=
−
u
e
u
u
t
u
t
τ
(11)
2. Přechodné jevy
25
kde
RC
=
τ
.
Tento vztah je možné v obvodech RC 1. řádu používat zcela obecně, umíme-li určit počáteční
podmínku uC(0) a partikulární řešení
)
(
C ∞
u
.
Příklad 1.
Přesvědčte se, že řešení
vyhovuje rovnici (3) při u
.
0
C
Cp
)
(
)
(
U
u
t
u
=
∞
=
∞
→
0
)
(
U
t
=
)
cos(
)
(
U
Řešení:
Dosadíme přímo do rovnice (3); derivace konstanty U0 je rovna nule:
U0 = R C dU0/dt + U0 = U0.
Rovnost je splněna, opravdu se jedná o partikulární řešení diferenciální rovnice.
■
b) Harmonický zdroj napětí
V čase 0 se připojuje zdroj
ϕ
ω +
=
t
U
t
u
m
)
cos(
U
Tomuto zdroji u(t) odpovídá model - viz vztah (3):
RC duC/dt + uC(t) =
ϕ
ω +
t
m
U
(12)