Teorie obvodu II (TOII)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
(32)
Pro dané podmínky snadno zjistíme, že pro první derivaci proudu v čase t = 0 platí
(33)
L
U
t
i
/
d
/
)
0
(
d
0
L
=
Ukáže se, že vztah (33) budeme potřebovat k vyřešení přechodného děje obvodu.
Vztah (32) musí platit obecně v každém časovém okamžiku., proto (platí i(t) = iL(t) ≡ i a rovněž uC(t)
≡ uC):
0
0
d
1
d
/
d
U
t
i
C
t
i
L
i
R
t
∫ =
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
′
′
2
2
C
d
/
d
u
t
i
L
i
R
=
+
⋅
+
⋅
(34)
Obě strany rovnice (34) derivujeme a obdržíme tak diferenciální rovnici 2. řádu
(
; derivace konstanty U0 je rovna nule; integrál se derivací "ruší")
i
t
i
i
t
i
≡
≡
d
/
d
;
d
/
d
/
0
=
+
′
⋅
+
′
⋅
C
i
i
L
i
R
kterou formálně upravíme do tvaru (jedná se přímo o homogenní rovnici)
0
)
/(
)
/
(
=
+
′
⋅
+
′
LC
i
i
L
R
i
(35)
Předpokládejme i nyní řešení ve tvaru
. Potom jistě platí pro první derivaci proudu, že
=
t
e
K
i
λ
⋅
=
K
i
⋅
=
′ (
t
t
e
K
e
λ
λ
λ ⋅
⋅
=
′)
i
⋅
λ ; pro druhou derivaci proudu
. Dosaďme získané
výsledky do vztahu (35), označme
i
i
i
i
2
)
(
)
(
λ
λ
=
′
⋅
=
′
′
=
′
β
2
/
=
L
R
2
0
)
/(
1
ω
=
LC
0
2
2
0
2
2
0
2
=
+
+
ω
βλ
λ
,
- to je rezonanční kmitočet obvodu při
harmonickém buzení (určený z fázové podmínky rezonance). Dostáváme vztah
2
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
i
i
i
ω
βλ
λ
tedy i
(36)
0
)
2
(
2
0
2
=
⋅
+
+
i
ω
βλ
λ
Triviální řešení i = 0 pro nás není zajímavé. Rovnice (36) však může být splněna i tehdy, je-li
charakteristický polynom (viz čl. 18.6) roven nule, tedy
(37)
Řešením kvadratické rovnice (37) získáme dva kořeny
)
(
2
0
2
1
ω
β
β
λ
−
−
−
=
(38)
)
(
2
0
2
2
ω
β
β
λ
−
+
−
=
(39)
a řešení homogenní rovnice 2. řádu má v tomto případě tvar (superpozice)
2. Přechodné jevy
32
t
t
e
K
e
K
t
i
2
1
2
1
)
(
λ
λ
⋅
+
⋅
=
(40)
Pokud by byla rovnice nehomogenní, museli bychom ještě zjišťovat a přičítat partikulární řešení,
obdobně jako tomu bylo u rovnic 1. řádu.
V rovnici (40) máme nyní dvě neznámé konstanty - K1 a K2. Potřebujeme tedy znát dva body řešení
diferenciální rovnice. 1. podmínka je dána hodnotou proudu iL(0) = i(0) = 0. 2. podmínka je
definována vztahem (33), známe totiž derivaci proudu v čase sepnutí (nula). Z 1. podmínky zjistíme,
že