Teorie obvodu II (TOII)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
10 V
R1
R2
iL(t)
L
C
uC(t)
Obr. 15 Obrázek k určení stavových
veličin R1 = 5 kΩ; R2 = 5 kΩ;
2. Přechodné jevy
37
Řešení:
Situace je znázorněna na obrázku 16. Vyznačíme dva smyčkové proudy a sestavíme dvě rovnice pro
smyčkové proudy, které představují matematický model obvodu (v časové oblasti).
Nyní již snadno určíme, že (aplikace 2. Kirchhoffova zákona) platí:
0
)
(
)
(
10
1
=
+
+
−
t
u
t
u
C
R
0
)
(
)
(
)
(
2
;
=
+
+
−
t
u
t
u
t
u
R
L
C
);
(
)
(
1
1
1
t
i
R
t
u R
⋅
=
)
(
)
(
2
2
2
t
i
R
t
u R
⋅
=
- Ohmův zákon
[
] t
t
i
t
i
C
t
t
i
C
t
u
C
C
d
)
(
)
(
1
e
superpozic
d
)
(
1
)
(
2
1
∫
∫
−
=
=
=
t
t
i
L
t
t
i
L
t
u
L
L
d
/
)
(
d
d
/
)
(
d
)
(
⋅
=
⋅
=
- ze zákona kontinuity
2
-
Faradayův zákon
Nyní již můžeme určit pomocí elementárních úprav, že
0
d
/
)
(
d
d
)
(
10
d
)
(
2
2
2
=
⎥⎦
⎤
⋅
+
=
∫
t
t
i
L
t
t
i
t
t
i
1
)
(
d
)
(
1
1
d
)
(
1
)
(
2
2
1
1
1
1
⎢⎣
⎡
+
+
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
∫
∫
∫
C
t
i
R
t
t
i
C
C
t
t
i
C
t
i
R
Pro odstranění integrálů je třeba obě rovnice derivovat, potom budou v rovnicích i derivace 2. řádu,
jedná se o obvod 2. řádu.
3. Určete obecně průběh napětí na kapacitoru C - obrázek 17 - odpojí-li se rezistor R2 .
Obr. 16 Zobrazení smyčkových proudů
10 V
R2
iL(t)
L
C
uC(t)
R1
uL(t)
uR1(t)
uR2(t)
i1(t)
i2(t)
10 V
R1
R2
C
uC(t)
Obr. 17 Určení napětí kapacitoru C
2. Přechodné jevy
38
Řešení:
Před odpojením R2 je napětí na kapacitoru určeno odporovým děličem, takže uC(0-) = uC(0+) =
10.R2/(R1+R2) - počáteční podmínka. Po odpojení R2 platí po nekonečně dlouhé době, že uC(∞) = 10 V
(partikulární řešení - uCp(t)). Po odpojení R2 platí 10 + uR1(t) + uC(t) = 0 ,tedy
R1.i(t) + uC(t) = -10 .Protože i(t) = iC(t) = C. duC(t)/dt, dostaneme R1 C. duC(t)/dt+ uC(t) = -10, tedy po
úpravách duC(t)/dt + uC(t)/τ = -10/τ, kde τ = R1 C je časová konstanta obvodu. Řešení homogenní
rovnice má tvar uCh(t) = K.exp(-t/τ), celkové řešení je dáno součtem partikulárního řešení a řešení
homogenní rovnice: uC(t) = K.exp(-t/τ) + uC(∞). To musí vyhovět počáteční podmínce: uC(0) =
K.exp(-0/
τ) + uC(∞), odkud získáme hodnotu konstanty K = uC(0) - uC(∞), takže řešení v obecném