M01 - Základy lineární algebry

3

Lineární algebra

tvar:

max (c · x)

A · x ≤ b,

x ≥ o,

podle kterého hledáme maximum hodnoty zisku c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn na mno-
žině ohraničené nerovnostmi

P

n
j=1 aij xj ≤ bi, i = 1, 2, . . . , m popisujícími vý-

robní možnosti jednotky a nerovnostmi xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n vyjadřujícími
nezápornost množství hotové produkce. 4

Uvedená úloha patří mezi základní úlohy tzv. lineárního programování.

Ze střední školy umíme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Tak např.

soustava

2x + y = 5

x − y = 4

má jediné řešení x = 3, y = −1. Toto řešení najdeme například tak, že z druhé
rovnice vypočteme x a dosadíme do první rovnice.

Soustava

2x +

y = 5

4x + 2y = 7

nemá žádné řešení. Odečteme-li dvojnásobek první rovnice od druhé rovnice,
dostaneme 0 = −3, což není možné.

Soustava

2x +

y =

5

4x + 2y = 10

má nekonečně mnoho řešení. Všimněme si, že druhá rovnice je dvojnásobkem
první rovnice. Stačí tedy soustavu řešit tím, že jednu neznámou volíme. Např.
řešením je x = 1, y = 3, nebo x = 0, y = 5, nebo x = −1, y = 7 atd. 4

V právě uvedeném příkladě jsme o řešitelnosti daných soustav rozhodli snadno.

Jde-li však o soustavu s větším počtem neznámých, není otázka řešitelnosti tak
přehledná. A právě jedním z hlavních úkolů lineární algebry je najít jednak jed-
noduchá kriteria řešitelnosti takových soustav, jednak vhodné metody, jak tyto
soustavy řešit.

Úkolem tohoto modulu je seznámit čtenáře se základními pojmy a metodami

lineární algebry. Zatím bylo stručně pojednáno o významu lineární algebry. První
kapitola uvádí nejzákladnější poznatky o vektorech, které jsou potřebné pro vý-
klad v dalších kapitolách. Druhá kapitola je věnována maticím. Je zde zavedena
terminologie maticového počtu a podrobně popsány operace s maticemi. Třetí ka-
pitola pojednává o determinantech. Zejména jsou popsány metody jeho výpočtu
a aplikace především v maticovém počtu. Řešení soustav lineárních algebraických
rovnic je věnována kapitola čtvrtá.