M01 - Základy lineární algebry

n jsou lineárně nezávislé.

Věta 1. 1. Vektory a1, a2, . . . , ak ∈ R

n jsou lineárně závislé, právě když ně-

který z nich je lineární kombinací zbývajících vektorů.
2. Je-li mezi vektory a1, a2, . . . , ak některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory
lineárně závislé.

Důkaz: 1a) Jestliže např. vektor ai, 1 ≤ i ≤ k je lineární kombinací zbývajících

vektorů, pak platí

ai = β1a1 + . . . + βi−1ai−1 + βi+1ai+1 + . . . + βkak.

Převedeme-li ai na druhou stranu rovnice, dostaneme

o = β1a1 + . . . + βi−1ai−1 + (−1)ai + βi+1ai+1 + . . . + βkak.

Protože všechny koeficienty nejsou zároveň nuly, jsou dané vektory lineárně závislé.

9

Lineární algebra

1b) Jestliže naopak jsou dané vektory lineárně závislé, pak v rovnici α1a1 + α2a2 +

. . . + αkak = o je aspoň jeden koeficient různý od nuly, např. αj 6= 0. Dělíme-li tímto
koeficientem uvedenou rovnici, dostaneme

α1
αj

a1 + . . . +

αj−1

αj

aj−1 + aj +

αj+1

αj

aj+1 + . . . +

αk

αj

ak = o.

Odtud

aj = −

α1
αj

a1 − . . . −

αj−1

αj

aj−1 −

αj+1

αj

aj+1 − . . . −

αk

αj

ak.

To však znamená, že vektor aj je lineární kombinací zbývajících vektorů.

2. Nulový vektor je lineárních kombinací každých vektorů a1, a2, . . . , ak, neboť pro

α1 = α2 = . . . = αk = 0 zřejmě platí o = 0 · a1 + 0 · a2 + . . . + 0 · ak = o + o + . . . + o = o.

Nyní tvrzení plyne z 1. části této věty.

Poznámka 1. Pro k = 1 znamená lineární nezávislost jediného vektoru a1,

že a1 6= o. Pro k = 2 znamená lineární závislost dvou vektorů a1, a2, že jeden
z nich lze vyjádřit jako násobek druhého vektoru. Aritmetické vektory a1, a2 se
pak nazývají kolineární, neboť při geometrickém modelu, který jsme uvedli v
úvodu této kapitoly, jsou odpovídající orientované úsečky rovnoběžné.