M01 - Základy lineární algebry

Definice 1. Každou uspořádanou n−tici reálných čísel tvaru (a1, a2, . . . , an) na-
zveme n-členným aritmetickým vektorem a prvky a1, a2, . . . , an jeho slož-
kami.

Vektory budeme značit polotučnými písmeny, např.

a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn).

o = (0, 0, . . . , 0) je tzv. nulový vektor. Jeho všechny složky jsou nulové.

Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel se nazývá vektorový pro-

stor n-členných aritmetických vektorů a značí se Rn, jestliže jsou v ní rovnost a
operace sčítání a násobení číslem definovány takto:

Vektory a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) jsou si rovny, píšeme a = b,

právě když zároveň platí tyto rovnosti a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn. Neplatí-li
některá (aspoň jedna) z těchto rovností, nazýváme vektory a, b různé a píšeme
a 6= b.

Součtem vektorů a, b nazýváme vektor, který značíme a+b a pro který platí

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn).

K-násobkem vektoru a , k ∈ R, nazýváme vektor ka = (ka1, ka2, . . . , kan).

Příklad 1. Jsou dány vektory a = (1, 3, 2), b = (3, −1, −2), c = (−2, 0, −1,

√

2).

Určíme vektory a + b , a + c , 5a − 2b , 0 · c .

Řešení. Platí a + b = (1 + 3, 3 − 1, 2 − 2) = (4, 2, 0). Součet a + c nemá smysl,

neboť vektory a, c nemají stejný počet složek, takže je nelze sčítat.

8

1. Vektory

Dále 5a − 2b = (5, 15, 10) + (−6, 2, 4) = (−1, 17, 14).
Konečně 0 · c = (0 · (−2), 0 · 0, 0 · (−1), 0 ·