M01 - Základy lineární algebry

CVIČENÍ 1 − Vektory

Kontrolní otázky

1. Co je to aritmetický vektor?
2. Jak s vektory počítáme?
3. Definujte lineární nezávislost vektorů.
4. Kdy je jeden z vektorů lineární kombinací ostatních vektorů?

Příklady k procvičování

• 1. Jsou dány vektory x = (1, −2, 3, 0) , y = (−3, 0, 1, 5) , o = (0, 0, 0, 0) .
Vypočtěte

a) x + y ; b) x − y ; c) 2x ; d) −3y ; e) 2x − 3y ; f) 0 · x ; g) 2o .

• 2. Jsou dány vektory a = (1, 2, 3, −1) , b = (0, −1, 2, 0) , c = (1, 0, −2, 3) .
Určete vektor x = (x1, x2, x3, x4) tak, aby platilo a − 3b + 2x = c − 3a .

• 3. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů

a) a1 = (1, 0, 2) , a2 = (4, 1, 0) , a3 = (−2, −1, 4) ;
b) a1 = (2, 0, 0) , a2 = (0, 1, 6) , a3 = (0, 0, −3) ;
c) a1 = (3, 1, 5, 2) , a2 = (−1, 0, 2, 4) ;
d) a1 = (3, 1, −2, 2) , a2 = (9, 3, −3, 6) , a3 = (6, 5, −1, 4) , a4 = (6, 2, −5, 4) .

Výsledky příkladů

◦ 1. a) (−2, −2, 4, 5) ; b) (4, −2, 2, −5) ; c) (2, −4, 6, 0) ; d) (9, 0, −3, −15) ;

e) (11, −4, 3, −15) ; f) (0, 0, 0, 0) ; g) (0, 0, 0, 0) .

◦ 2. x = 1

2 (c − 4a + 3b) = (−

3
2 , −

11

2 , −4,

7
2 )

◦ 3. a) závislé, a3 = 2a1 − a2 ; b) nezávislé; c) nezávislé;

d) závislé, a4 = 3a1 −

1
3 a2 .

10

Kapitola 2

MATICE

2.1

Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic

Motivace

V matematice, ekonomice i v technických disciplínách se často setkáváme s úlo-

hami, které se popisují pomocí čísel sestavených do řádků a sloupců. Tak např.
systém lineárních rovnic