M01 - Základy lineární algebry

A, B a píšeme A + (−B) = A − B.

Příklad 6. Vypočteme rozdíl matic z předcházejícího příkladu. Zřejmě platí

A − B =

1 − (−1) 2 − (−2)

3 − 3

3 − 2

1 − 5

−5 − (−3)

!

=

2

4

0

1 −4 −2

!

.

Pro součet matic a pro násobení matice číslem platí jednoduchá početní pra-

vidla, která uvedeme v následující větě.

Věta 1. Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k1, k2 libovolná reálná
čísla, pak platí následující vztahy.

1. A + B = B + A (komutativní zákon)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon)

3. A + O = A, kde O je nulová matice téhož typu jako A.

4. A + (−A) = O, kde O je nulová matice téhož typu jako A.

5. 1 · A = A

6. k1(k2A) = (k1k2)A (asociativní zákon pro násobení číslem)

7. (k1 + k2)A = k1A + k2A (1. distributivní zákon pro násobení matice

číslem)

8. k(A + B) = kA + kB (2. distributivní zákon pro násobení matice číslem)

15

Lineární algebra

Důkaz věty je snadný. Uvedené vlastnosti vyplývají z definic příslušných početních

operací a vlastností reálných čísel.

Definice 11. (Součin matic) Nechť A = (aij) je matice typu (m, n) a B = (bjk)
je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B v daném pořadí rozumíme
matici C = (cik) typu (m, p), píšeme C = A · B, pro jejíž prvky platí

cik =

n

X

j=1

aijbjk

pro

i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p.

Poznámka 4. Definice říká, že chceme-li určit prvek cik, musíme odpovídající

členy i-tého řádku první matice vynásobit odpovídajícími členy k-tého sloupce
druhé matice a takto vzniklá čísla sečíst. Proto musí mít první matice řádek
stejně dlouhý jako druhá matice sloupec. Tedy první matice musí mít stejný
počet sloupců jako druhá řádků.