M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2. Je-li např. matice A typu (2, 4), matice B typu (4, 5), pak součin A · B
existuje a je to matice typu (2, 5), kdežto součin matic B · A není defino-
ván, protože počet sloupců matice B je různý od počtu řádků matice A.
O rovnosti A · B = B · A tedy nemá smysl hovořit.
3. Je-li matice A typu (m, n) a matice B typu (n, m), pak součin A · B je
čtvercová matice řádu m a B · A je čtvercová matice řádu n. Pokud m 6= n,
opět nelze uvažovat o rovnosti matic A · B a B · A, protože nejsou stejného
řádu.
4. Z uvedeného vyplývá, že o platnosti komutativního zákona pro součin matic
lze uvažovat pouze v případě, kdy obě matice jsou čtvercové a stejného řádu.
Na příkladě však uvidíme, že ani v tomto případě komutativní zákon obecně
neplatí. Proto má smysl následující definice.
Definice 12. Čtvercové matice A, B řádu n se nazývají zaměnitelné (komuta-
tivní), jestliže platí A · B = B · A.
Jak snadno zjistíme vynásobením, platí následující tvrzení.
Věta 2. Jsou-li matice A, nulová matice O a jednotková matice E čtvercové
matice stejného řádu n, pak platí
A · O = O · A = O ,
A · E = E · A = A .
17
Lineární algebra
Tj. nulová a jednotková matice jsou zaměnitelné s libovolnou čtvercovou ma-
ticí stejného řádu.
Příklad 8. Jestliže A =
2 0
−3 6
!
, B =
1 −1
5
7
!
, pak
A · B =
2 0
−3 6
!
·
1 −1
5
7
!
=
2 −2
27
45
!
B · A =
1 −1
5
7
!
·
2 0
−3 6
!
=
5 −6
−11
42
!
takže A · B 6= B · A.
Příklad 9. Jestliže A =
5 2
4 5
!
, B =
2 1
2 2
!
, pak
A · B =
5 2
4 5
!
·
2 1
2 2
!
=
14
9
18 14
!
a
B · A =
2 1
2 2