M01 - Základy lineární algebry

1. (AT )T = A

2. (A + B)T = AT + BT

3. (A · C)T = CT · AT

4. (kA)T = kAT

Důkaz: Omezíme se jen na důkaz třetí vlastnosti. Ostatní vlastnosti se snadno na-

hlédnou z definice transponování. U druhé vlastnosti předpokládáme, že matice A, B
jsou stejného typu, aby existoval součet A + B.

20

2. Matice

Nechť A = (aij)m,n, pak C = (cjk)n,p, aby existoval součin A · C, a tedy C

T =

(cT

jk )p,n, A

T = (aT

ij )n,m. Dále platí, že matice (A·C )

T a CT ·AT jsou stejného typu (p, m).

Označíme-li D = A · C, pak dT

ik = dki =

P

n
j=1 akj cji =

P

n
j=1 a

T
jk c

T

ij =

P

n
j=1 c

T

ij a

T
jk .

Poslední součet je však prvkem i-tého řádku a k-tého sloupce matice CT · AT , takže
matice (A · C)T a CT · AT jsou si rovny.

Poznámka 8. Pojem transponované matice se mimo jiné často vyskytuje

v souvislosti se symetrickou maticí. Transponovanou matici ke čtvercové matici
získáme „překlopenímÿ kolem hlavní diagonály. Je-li matice symetrická, potom
zřejmě transponovaná matice je rovna původní matici, tj. AT = A. Podobně se
dá ověřit, že čtvercová matice je antisymetrická, právě když AT = −A.

Pro každou čtvercovou matici A je A + AT symetrická matice a A − AT

antisymetrická matice. Protože platí

A =

1

2

(A + A

T ) +

1

2

(A − A

T ) ,

dostáváme tvrzení, že každou čtvercovou matici lze psát jako součet symetrické
a antisymetrické matice. Není obtížné ověřit, že takový rozklad čtvercové matice
na součet symetrické a antisymetrické matice je jednoznačný.

Příklad 15. Matici A =

2 −1

1

3 −1 −1

−1

5

3


 rozložíme na součet symetrické a

antisymetrické matice.

Řešení. Podle předcházející poznámky platí A = B + C, kde B =