M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5
1
4 8 4 20
.
Řešení. Platí
1
3 2 0
5
2
6 9 7 12
−2 −5 2 4
5
1
4 8 4 20
-2
←
∼
1
3 2 0
5
0
0 5 7
2
−2 −5 2 4
5
1
4 8 4 20
2
↓
←
∼
1 3 2 0
5
0 0 5 7
2
0 1 6 4 15
1 4 8 4 20
-1
↓
↓
←
∼
1 3 2 0
5
0 0 5 7
2
0 1 6 4 15
0 1 6 4 15
-1
←
∼
1 3 2 0
5
0 0 5 7
2
0 1 6 4 15
0 0 0 0
0
-
←
∼
1 3 2 0
5
0 1 6 4 15
0 0 5 7
2
0 0 0 0
0
24
2. Matice
Upravená schodovitá matice má tři nenulové řádky, proto je její hodnost 3, což
je také hodnost dané matice.
Příklad 21. Určeme hodnost matice
2 −1 −1
4 −2 −1
6 −3 −1
2 −1
2
.
Řešení. Platí
2
−1 −1
4
−2 −1
6
−3 −1
2
−1
2
T
∼
2
4
6
2
−1 −2 −3 −1
−1 −1 −1
2
1
2
∼
∼
1
2
3
1
−1 −2 −3 −1
−1 −1 −1
2
1
1
←−
↓
←− ←−
∼
1
2
3
1
0
0
0
0
0
1
2
3
-
←
∼
1
2
3
1
0
1
2
3
0
0
0
0
Hodnost dané matice je tedy 2.
Poznámka 13. Pomocí výpočtu hodnosti matice se dá řešit novým způsobem
úloha, zda dané vektory a1, a2, . . . , am jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Je-li
totiž hodnost matice, jejíž řádky jsou tvořeny těmito vektory, rovna číslu h, pak
jestliže h = m jsou dané vektory lineárně nezávislé, v případě h < m lineárně
závislé.
Příklad 22. Rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti soustavy vektorů
a1 = (25, 2, 3, 4, 2), a2 = (75, 6, 2, 11, 3), a3 = (75, 6, 3, 4, 8), a4 = (25, 4, 5, 1, 4).
Řešení. Platí
25 2 3
4 2
75 6 2 11 3
75 6 3
4 8
25 4 5
1 4
-3
-3
-1
←−
↓
↓
←− ←−
↓
←− ←− ←−
∼
25 2
3
4
2
0
0 −7 −1 −3
0
0 −6 −8
2
0
2
2 −3
2
-
←
∼
25 2
3
4
2
0
2
2 −3
2
0
0 −6 −8
2
0
0 −7 −1 −3
-7/6
←
∼
25 2
3
4
2
0
2
2 −3
2
0
0 −6 −8
2
0
0
0
25
3
− 16
3
.
Hodnost matice vyšla 4, což se rovná počtu daných vektorů. Proto je soustava
vektorů lineárně nezávislá.