M01 - Základy lineární algebry

1
2 (A + A

T )

je symetrická matice a C =

1
2 (A − A

T ) je antisymetrická matice. V našem případě

B =

1

2

2 −1

1

3 −1 −1

−1

5

3


 +

1

2

2

3 −1

−1 −1

5

1 −1

3


 =

2

1 0

1 −1 2
0

2 3


 ,

C =

1

2

2 −1

1

3 −1 −1

−1

5

3


 −

1

2

2

3 −1

−1 −1

5

1 −1

3


 =

0 −2

1

2

0 −3

−1

3

0


 .

Tedy máme

A =

2

1 0

1 −1 2
0

2 3


 +

0 −2

1

2

0 −3

−1

3

0


 .

21

Lineární algebra

2.3

Hodnost matice

Jedním z důležitých pojmů při studiu systémů lineárních algebraických rovnic je
pojem hodnosti matice.

Definice 14. Uvažujme matici

A =

a11

a12 · · ·

a1n

a21

a22 · · ·

a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 · · · amn

typu (m, n). Hodností matice A rozumíme přirozené číslo, udávající maximální
počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Hodnost matice budeme
značit h(A).

Poznámka 9. Zřejmě hodnost nulové matice je nula. Později si ukážeme, že

počet lineárně nezávislých řádků matice A je roven počtu lineárně nezávislých
sloupců téže matice. Hodnost matice je zdola ohraničena číslem nula a shora
minimem z čísel m, n (rozměrů matice). Tj. platí 0 ≤ h(A) ≤ min(m, n).

Příklad 16. Matice

1 0 1
0 1 0

!

má hodnost 2, neboť její řádky jsou lineárně

nezávislé.

Příklad 17. Matice

3

5 −2

6 10 −4

!

má hodnost 1, neboť druhý řádek je

dvojnásobkem nenulového (a tedy lineárně nezávislého) řádku prvního.

Příklad 18. Určíme hodnost matice A =

2 0 2
1 2 3
2 6 8


 .

Řešení. Připusťme, že h(A) = 3, tj. že matice má tři lineárně nezávislé řádky.
Označíme-li a1 = (2, 0, 2) ,

a2 = (1, 2, 3) , a3 = (2, 6, 8) , pak musí platit

α1a1 + α2a2 + α3a3 = o jen pro α1 = α2 = α3 = 0. Ověřme tento předpoklad.
Rozepíšeme-li uvedenou rovnici do složek, dostaneme soustavu