M01 - Základy lineární algebry

2α1 +

α2

+ 2α3 = 0

2α2 + 6α3 = 0

2α1 + 3α2 + 8α3 = 0

Z druhé rovnice soustavy plyne α2 = −3α3 a po dosazení do první rovnice sou-
stavy α1 =

α3

2

. Dohromady má soustava řešení α1 =

k
2 , α2 = −3k, α3 = k, kde k

je libovolné reálné číslo. Existují tedy i nenulová α1, α2, α3, tj. vektory a1, a2, a3
jsou lineárně závislé. Platí a3 = 3a2 −

1
2 a1, proto h(A) 6= 3, tj. h(A) < 3. Protože

22

2. Matice

první a druhý řádek matice nejsou úměrné, a1, a2 jsou lineárně nezávislé. Tedy
h(A) = 2.

Příklad 19. Matice B =

b11 b12 · · · b1m

· · ·

b1n

0

b22 · · · b2m

· · ·

b2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

0

· · · bmm · · · bmn

,

kde bii 6= 0, bij = 0 pro i > j, i = 1, 2, . . . , m, m ≤ n, tj. v hlavní diagonále
nenulové prvky a pod hlavní diagonálou samé nuly, má hodnost m.

Označíme-li totiž její řádky po řadě symboly b1, b2, . . . , bm, potom z rovnice

β1b1 + β2b2 + . . . + βmbm = o plynou porovnáním složek obou stran pro čísla
βi vztahy β1b11 = 0 a odtud β1 = 0, β1b12 + β2b22 = 0 a odtud β2 = 0, atd. až
βm = 0. Tedy řádky uvažované matice jsou lineárně nezávislé. Matice B má proto
hodnost h(B) = m.

Poznámka 10. Určení hodnosti matice přímo z definice není vždy jednoduché

(viz příklad 18). Proto se matice upravuje na jednodušší tvar (viz příklad 19),
samozřejmě tak, aby se při úpravách její hodnost neměnila.

Definice 15. Mějme matici A = (aij) typu (m, n). Elementárními úpravami
matice A budeme rozumět kteroukoliv z následujících úprav: