M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Poznámka 6. Se součinem matic úzce souvisí mocniny čtvercové matice s
přirozeným exponentem. Místo A · A píšeme stručněji A2, A · A · A = A3, atd.
Mocniny matice rozšiřujeme i pro případ, že exponent je roven nule, a to vztahem
A0 = E, kde E je jednotková matice stejného řádu jako A.
Příklad 12. Vypočteme
1 −3
2 −1
!
3
.
Řešení. Platí
1 −3
2 −1
!
3
=
1 −3
2 −1
!
·
1 −3
2 −1
!
·
1 −3
2 −1
!
1 −3
2 −1
!
·
1 −3
2 −1
!
=
−5
0
0 −5
!
,
−5
0
0 −5
!
·
1 −3
2 −1
!
=
−5 15
−10
5
!
Tedy
1 −3
2 −1
!
3
=
−5 15
−10
5
!
.
Na závěr tohoto odstavce uvedeme ještě další operaci maticového počtu.
Definice 13. (Transponování matice)
Jestliže
A =
a11
a12
· · ·
a1n
a21
a22
· · ·
a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 · · · amn
19
Lineární algebra
je matice typu (m, n), potom matici
A
T =
a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1n a2n · · · amn
typu (n, m) nazýváme transponovaná matice k matici A.
Poznámka 7. Transponovaná matice AT vznikne tedy z matice A tak, že
i-tý řádek matice A napíšeme do i-tého sloupce matice AT . Zaměníme řádky za
sloupce a naopak při zachování jejich pořadí. Označíme-li prvky transponované
matice aT
ij , pak platí a
T
ij = aji, tj. prvek transponované matice v i-tém řádku a
j-tém sloupci je roven prvku původní matice, který leží v j-tém řádku a i-tém
sloupci.
Příklad 13.
Jestliže
A =
2 −1
3
0 −3
1
2
5 −2
1
0
0
,
pak
A
T =
2
0
2 1
−1 −3
5 0
3
1 −2 0
.
Příklad 14.
Jestliže
A =
a b c
, pak
A
T =
a
b
c
.
Tedy transponováním řádkového vektoru dostaneme sloupcový vektor a naopak.
Věta 4. (Základní vlastnosti transponování matic) Nechť A, B, C jsou matice
vhodných typů a k reálné číslo. Pak platí následující vztahy.