M01 - Základy lineární algebry

ticí. Množiny M = {1, 2, 3}, N = {3, 1, 2} jsou si rovny, píšeme M = N , po-
něvadž mají stejné prvky. Avšak matice (1 2 3), (3 1 2) typu (1, 3), tj. řádkové
vektory, se nerovnají, poněvadž nejsou rovny odpovídající si prvky. Rovnost mezi
maticemi typu (m, n) tedy nahrazuje m · n rovností mezi odpovídajícími si prvky.

Definice 8. (Součet matic) Jestliže A = (aij), B = (bij) jsou matice téhož typu
(m, n), pak součtem matic A, B rozumíme matici C = (cij) typu (m, n), píšeme
C = A + B, jejíž prvky jsou součtem odpovídajících si prvků, tj. cij = aij + bij
pro i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.

Příklad 5. Jestliže

A =

1 2

3

3 1 −5

!

,

B =

−1 −2

3

2

5 −3

!

,

pak

A + B =

1 − 1 2 − 2

3 + 3

3 + 2 1 + 5 −5 − 3

!

=

0 0

6

5 6 −8

!

.

Definice 9. (Násobení matice číslem) K-násobkem matice A = (aij) typu (m, n)
rozumíme matici C téhož typu jako A, píšeme C = kA, jejíž prvky jsou k-násobky
prvků matice A, tj. cij = kaij pro i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.

14

2. Matice

Poznámka 3. Při násobení matice číslem se násobí všechny prvky matice, tj.

k

a11

· · ·

a1n

. . . . . . . . . . . . .

am1 · · · amn


 =

ka11

· · ·

ka1n

. . . . . . . . . . . . . . . .

kam1 · · · kamn


 .

Tuto poslední rovnost můžeme ovšem užít i obráceně k vytknutí společného

činitele všech prvků, např.

5

10

15 20

!

= 5 ·

1 2
3 4

!

.

Definice 10. Matice (−1)·A se nazývá opačná matice k matici A a označujeme
ji −A.

Jsou-li A, B matice téhož typu, pak výraz A + (−B) se nazývá rozdíl matic