M01 - Základy lineární algebry

√

2) = (0, 0, 0, 0).

Nyní zavedeme pojem lineární závislosti, který představuje v matematice je-

den ze základních vztahů. S tím také úzce souvisí pojem lineární kombinace.

Definice 2. Nechť a1, a2, . . . , ak ∈ R

n jsou aritmetické vektory. Říkáme, že tyto

vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = o,
kde α1, α2, . . . , αk mohou být libovolná reálná čísla, je splněna jen pro α1 = α2 =
. . . = αk = 0.

V opačném případě, kdy uvedená rovnice platí, přičemž aspoň jedno číslo

αi 6= 0, 1 ≤ i ≤ k, nazývají se tyto vektory a1, a2, . . . , ak lineárně závislé.

Vektor b ∈ Rn se nazývá lineární kombinace vektorů a1,a2, . . . , ak ∈ R

n,

existují-li taková reálná čísla β1, β2, . . . , βk, že platí b = β1a1 + β2a2 + . . . + βkak.

Příklad 2. Zjistíme, zda jsou vektory a1 = (3, 2, 1), a2 = (0, 1, −1), a3 =

(3, 1, 2) lineárně závislé nebo nezávislé.
Řešení. Zřejmě platí a1 − a2 = (3, 2, 1) − (0, 1, −1) = (3, 1, 2) = a3, takže a1 −
a2 − a3 = o. Protože α1 = 1, α2 = −1, α3 = −1, jsou vektory a1, a2, a3 lineárně
závislé. Přitom ze vztahu a3 = a1 − a2 plyne, že vektor a3 je lineární kombinací
vektorů a1, a2.

Příklad 3. Ukážeme, že vektory e1, e2, . . . , en ∈ R

n tvaru e

1 = (1, 0, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 0, 1), jsou lineárně nezávislé. Skutečně,
napíšeme-li rovnici α1e1 + α2e2 + . . . + αnen = o ve tvaru (α1, 0, 0, . . . , 0) +
(0, α2, 0, . . . , 0)+. . .+(0, 0, . . . , 0, αn) = (0, 0, . . . , 0), dostaneme (α1, α2, . . . , αn) =
(0, 0, . . . , 0). Odtud plyne α1 = α2 = . . . = αn = 0. To však znamená, že vektory
e1,e2, . . . , en ∈ R