M01 - Základy lineární algebry

Doba potřebná ke studiu

Jak dlouho se budete zabývat studiem tohoto modulu, záleží na vašich možnostech
a schopnostech. V prezenčním studiu je problematika modulu probírána v prvních
dvou týdnech úvodního semestru v rozsahu 8 hodin přednášek a 8 hodin cvičení.
Odtud vychází, že by mělo být dostatečné věnovat studiu 24 hodin samostatné
práce završené samokontrolou nabytých vědomostí vyřešením autotestu.

5

Lineární algebra

Klíčová slova

lineární algebra, aritmetický vektor, matice, determinant, systém lineárních alge-
braických rovnic

6

Kapitola 1

VEKTORY

Motivace

Vektorem se většinou rozumí orientovaná úsečka, nebo jak se zejména ve fyzice

názorně říkává, veličina určená velikostí a směrem. Dvě takové úsečky představují
jeden a tentýž vektor, právě když jsou souhlasně rovnoběžné a mají stejnou délku.
Viz obr. 1.

Vektory lze sčítat (ve fyzice se také říká skládat), jak je vidět na obr. 2.

Obrázek 1.1: Souhlasné vektory

3

3

Obrázek 1.2: Sčítání vektorů

3

-

~

u

~

v

~

u + ~

v

Dále lze vektory násobit reálnými čísly. Je-li toto číslo kladné, je výsledný

vektor téhož směru jako původní. V případě záporného čísla, je opačného směru
a pro nulu nulový vektor, tj. úsečka nulové délky (její krajní body splývají). Viz
obr. 3.

~

u

k~

u

(k>0)

l~

u

(l<0)

` 0~u

Obrázek 1.3: Násobení vektorů číslem

7

Lineární algebra

Budeme nyní uvažovat lineární rovnici o dvou neznámých

a1x + a2y + a3 = 0.

Násobíme-li tuto rovnici číslem k dostaneme

ka1x + ka2y + ka3 = 0.

Sečteme-li danou rovnici

a1x + a2y + a3 = 0

s rovnicí

b1x + b2y + b3 = 0,

dostaneme rovnici

(a1 + b1)x + (a2 + b2)y + (a3 + b3) = 0.

Je tedy vidět, že místo abychom počítali s rovnicemi, můžeme počítat s uspo-
řádanými trojicemi čísel (a1, a2, a3), (b1, b2, b3). Takové trojice můžeme sčítat a
násobit čísly. Uspořádané trojice mají tedy charakter vektorů. Lze tedy uspořá-
danou trojici čísel označit názvem vektor.