M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Součin matice A s maticí B můžeme schematicky znázornit takto:
k − tý sloupec
k − tý sloupec
i − tý řádek
. . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain
. . . . . . . . . . . . . . . .
..
. b1k
..
.
..
. b2k
..
.
..
.
..
.
..
.
..
. bnk
..
.
=
. . . . . . . . . . .
· · · cik · · ·
. . . . . . . . . . .
i − tý řádek
cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + . . . + ain · bnk
Příklad 7. Určíme součiny C = A · B a D = B · A pro matice
A =
3 1 −2
4
2 1
0 −1
!
, B =
1
3
−1
2
2 −1
−2 −2
.
Řešení. Platí
A · B =
3
1
−2
4
2
1
0
−1
!
·
1
3
−1
2
2
−1
−2 −2
=
=
3 · 1 + 1 · (−1) + (−2) · 2 + 4 · (−2)
3 · 3 + 1 · 2 + (−2) · (−1) + 4 · (−2)
2 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 2 + (−1) · (−2)
2 · 3 + 1 · 2 + 0 · (−1) + (−1) · (−2)
!
=
=
−10
5
3
10
!
= C ,
16
2. Matice
B · A =
1
3
−1
2
2
−1
−2 −2
·
3
1
−2
4
2
1
0
−1
!
=
1 · 3 + 3 · 2
1 · 1 + 3 · 1
1 · (−2) + 3 · 0
1 · 4 + 3 · (−1)
(−1) · 3 + 2 · 2
(−1) · 1 + 2 · 1
(−1) · (−2) + 2 · 0
(−1) · 4 + 2 · (−1)
2 · 3 + (−1) · 2
2 · 1 + (−1) · 1
2 · (−2) + (−1) · 0
2 · 4 + (−1) · (−1)
(−2) · 3 + (−2) · 2
(−2) · 1 + (−2) · 1
(−2) · (−2) + (−2) · 0
(−2) · 4 + (−2) · (−1)
=
9
4
−2
1
1
1
2
−6
4
1
−4
9
−10 −4
4
−6
= D .
Poznámka 5.
1. Již z příkladu vidíme, že pro násobení matic obecně neplatí komutativní
zákon A · B = B · A. Matice A je typu (2,4), matice B je typu (4,2), proto
součin A · B je typu (2,2), kdežto součin B · A je typu (4,4).