M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
!
·
5 2
4 5
!
=
14
9
18 14
!
takže dané matice A, B jsou zaměnitelné.
Příklad 10. Jestliže A =
0 1
0 0
!
, B =
1 1
0 0
!
, pak
A · B =
0 1
0 0
!
·
1 1
0 0
!
=
0 0
0 0
!
.
Tedy z rovnice A · B = O neplyne, že některý z činitelů je roven nulové matici.
Příklad 11. Jestliže A =
0 1
0 2
!
, B =
5 1
3 1
!
, C =
2 2
3 1
!
, pak
A · B =
0 1
0 2
!
·
5 1
3 1
!
=
3 1
6 2
!
a
A · C =
0 1
0 2
!
·
2 2
3 1
!
=
3 1
6 2
!
.
Tedy z rovnice A · B = A · C nelze činit závěr, že B = C. Tj. při násobení matic
nelze krátit.
Z uvedených příkladů vyplývá, že početní operace s maticemi mají některé
odlišné vlastnosti od početních operací s reálnými čísly. I když nezavádíme nové
názvy a hovoříme stejně jako u reálných čísel o součtu, rozdílu a součinu matic,
je třeba si uvědomit, že jde o početní operace s novými matematickými objekty.
18
2. Matice
Věta 3. (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k číslo.
Pak platí následující vztahy.
1. (A · B) · C = A · (B · C)
(asociativní zákon)
2. k(A · B) = (kA) · B = A · (kB)
(asociativní zákon pro násobení součinu
matic číslem)
3. (A + B) · C = A · C + B · C
(1. distributivní zákon)
4. A · (B + C) = A · B + A · C
(2. distributivní zákon)
Důkaz: Především je třeba říci, že ve vlastnostech 1 – 4 nejsou uvedeny typy pří-
slušných matic. Těmto vztahům je třeba rozumět tak, že v případě existence matic na
levé straně existuje i matice na pravé straně a platí uvedená rovnost.
Platnost vztahů se dokáže tak, že matice představující levou i pravou stranu rovnic
jsou stejného typu a odpovídající prvky jsou shodné. Například 2. vlastnost, která říká,
že součin matic lze násobit číslem k v livolném pořadí, pokud pořadí matic zůstane
zachováno, vyplývá z platnosti vztahů k (aij · bjk) = (k aij) · bjk = aij · (k bjk)
plynoucí ze záměnnosti násobení čísel.