M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(i). přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce);
(ii). vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) nenulovým číslem;
(iii). přičtení k-násobku i-tého řádku (resp. sloupce) k j-tému řádku (resp. sloupci).
Poznámka 11. Pokud upravujeme jen řádky, hovoříme o řádkových úpra-
vách, analogicky zavádíme sloupcové úpravy. Jestliže matice B vznikla elemen-
tární úpravou matice A, používáme pro označení vztahu mezi nimi značku A ∼ B.
Dá se ukázat, že pomocí elementárních úprav lze nenulovou matici A převést
na tzv. schodovitou matici B = (bij) téhož typu (m, n) tvaru
0 · · ·
0
b1j
1
· · ·
· · ·
· · · b1n
0 · · · · · ·
0
b2j
2
· · ·
· · · b2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 · · · · · ·
· · ·
0
brj
r
· · · brn
0
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
,
kde 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jr ≤ n, 1 ≤ r ≤ min(m, n), bij
i 6= 0
pro i = 1, 2, . . . , r.
23
Lineární algebra
Pojem schodovitá matice odpovídá názorně svému názvu, neboť nulové prvky
tvoří jakési „schodyÿ. Vzhledem k nerovnosti 1 ≤ j1, první řádek může, ale také
nemusí začínat nulovými prvky.
Věta 5. Elementární úpravy matice nemění její hodnost.
Důkaz: Postup důkazu ukážeme na řádkové elementární úpravě přičtení k-násobku
i-tého řádku k j-tému řádku. Ostatní případy tvrzení věty se ukáží analogicky.