M01 - Základy lineární algebry

k matici A−1, tj. (A−1)−1 = A.

3. Transponovaná inverzní matice je rovna inverzní matici k transponované

matici, tj. (A−1)T = (AT )−1.

4. Inverzní matice k matici násobené nenulovým číslem je rovna inverzní

matici násobené převrácenou hodnotou tohoto čísla, tj. (kA)−1 =

1
k A

−1, k 6= 0.

5. Inverzní matice k součinu dvou matic je rovna součinu jejich inverzních

matic v obráceném pořadí, tj. (A · B)−1 = B−1 · A−1.

Důkaz: 1. Plyne ze vztahu E · E = E.

2. Matice (A−1)−1 je inverzní k matici A−1, a proto (A−1)−1 · A−1 = E. Násobíme-li

tuto rovnost maticí A zprava, dostaneme (A−1)−1·A−1·A = E·A a protože A−1·A = E ,
máme (A−1)−1 · E = E · A , tj. (A−1)−1 = A.

3. Vyjdeme z rovnice A−1 · A = E. Jejím transponováním dostaneme (A−1 · A)T =

AT · (A−1)T = ET = E. Násobme nyní rovnici AT · (A−1)T = E zleva maticí (AT )−1.
Dostaneme (AT )−1 · AT · (A−1)T = (AT )−1 · E = (AT )−1, z čehož plyne E · (A−1)T =
(AT )−1 a tedy (A−1)T = (AT )−1.

4. Platí (kA) · (

1
k A

−1) = k 1

k (A · A

−1) = E.

5. Platí (A · B) · (B−1 · A−1) = A · (B · B−1) · A−1 = A · E · A−1 = A · A−1 = E.

29

Lineární algebra

Poznámka 16. Nyní popíšeme metodu výpočtu inverzní matice pro danou

regulární matici založenou na elementárních úpravách matice.

Především už víme (poznámka 14), že každé elementární úpravě odpovídá

vynásobení matice vhodnou regulární maticí. Dále připomínáme, že elementární
úpravy zachovávají hodnost matice.

Metoda spočívá v tom, že napíšeme vedle sebe danou čtvercovou matici A

a jednotkovou matici stejného řádu. Na takto vzniklou matici jako celek apli-
kujeme elementární řádkové úpravy s odpovídajícím násobením zleva maticemi
A1, A2, . . . , Ap tak dlouho, až na místě matice A dostaneme jednotkovou matici
E.