M01 - Základy lineární algebry

matici, jejíž nulita je 2, neboť n − h = 4 − 2 = 2 .

Poznámka 14. Dá se ukázat, že každé elementární úpravě s řádky (sloupci)

matice odpovídá vynásobení matice vhodnou regulární maticí zleva (zprava).

Tak např. vynásobení zleva matice

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


 maticí

0 1 0
1 0 0
0 0 1

vede

k výměně prvního a druhého řádku.

Skutečně, platí

0 1 0
1 0 0
0 0 1


 ·

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


 =

a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33


 .

Podobně např. násobení zleva maticí

1 0 0
0 k 0
0 0 1

vede k vynásobení druhého

řádku číslem k , neboť

1 0 0
0 k 0
0 0 1


 ·

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


 =

a11

a12

a13

ka21 ka22 ka23

a31

a32

a33


 .

Konečně např. násobení zleva maticí

1 0 0
0 1 k
0 0 1

vede k přičtení k-násobku

třetího řádku k druhému řádku, neboť

1 0 0
0 1 k
0 0 1


 ·

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


 =

a11

a12

a13

a21 + ka31 a22 + ka32 a23 + ka33

a31

a32

a33


 .

27

Lineární algebra

2.4

Inverzní matice

Motivace

Uvažujme rovnici ax = b, kde a, b jsou reálná čísla, a 6= 0. Její řešení získáme

snadno vynásobením rovnice číslem a−1. Platí

ax = b

a−1(ax) = a−1b

1 · x = a−1b

x = a−1b .

Analogická situace nastává i při řešení maticové rovnice A · X = B, kde A, B
jsou dané matice a X je matice s neznámými prvky. Kdyby existovala matice
A−1 s vlastností A−1 · A = E, kde E je jednotková matice, mohli bychom danou
maticovou rovnici řešit takto:

A · X

= B

A−1 · (A · X) = A−1 · B
(A−1 · A) · X

= A−1 · B

E · X

= A−1 · B

X

= A−1 · B .

Je proto přirozená následující definice.