M01 - Základy lineární algebry

0 −3 −3 1 0 −2

∼

1

5

3

0 0

1

0

1

1 −

1
3

0

2
3

0 −6 −5

0 1 −3

∼

∼

1 0 −2

5
3

0 −

7
3

0 1

1 −

1
3

0

2
3

0 0

1

−2 1

1

∼

1 0 0 −

7
3

2 −

1
3

0 1 0

5
3

−1 − 1

3

0 0 1

−2

1

1

.

Tedy

B

−1 =

− 7

3

2 −

1
3

5
3

−1 − 1

3

−2

1

1

.

Poznámka 17. Existuje ještě celá řada dalších metod pro výpočet inverzní

matice. S jednou z nich se ještě blíže seznámíme v kapitole 3. Dále se čtenář
setká s inverzní maticí v matematické statistice a na matematiku navazujících
předmětech.

2.5

Maticové rovnice

Úloha řešit maticovou rovnici o jedné neznámé matici X, znamená najít takovou
matici X, která, dosazena do maticové rovnice, ji převede po provedení naznače-
ných početních operací s maticemi na rovnost dvou matic.

Řešení maticové rovnice o jedné neznámé matici X má dvě části:

1. Z maticové rovnice osamostatníme neznámou matici X.

2. Neznámou matici X vypočítáme.

Postup si ukážeme na příkladech.

Příklad 29. Určíme matici X, aby platilo A · X = B, kde

A =

1

1

3 −1

!

, B =

0

1 3

4 −5 5

!

.

Řešení.

1. Platí X = A−1 · B.

32

2. Matice

2. X =

1

1

3 −1

!

−1

·

0

1 3

4 −5 5

!

Inverzní matice k matici

1

1

3 −1

!

je podle příkladu 26 matice

1
4

1
4

3
4

− 1

4


 .

Tedy X =

1
4

1
4

3
4

− 1

4

·

0

1 3

4 −5 5

=

1 −1 2

−1

2 1

.

Řešením dané maticové rovnice je matice X =

1 −1 2

−1

2 1

!

.

Můžeme provést zkoušku. Platí

1

1

3 −1

!

·

1 −1 2

−1

2 1

!

=

0

1 3

4 −5 5

!

.

Příklad 30. Určíme matici X, aby platilo A · X + B = 2(X − C), kde

A =

1 −1 0

−2

2 1

1 −3 1


 ,

B =

2

1 6

−4

3 2

0 −2 4


 ,

C =

1

3

2

2 −1

3

1

5 −6

.

Řešení.

1. Osamostatníme matici X. Platí

A · X + B = 2X − 2C

A · X − 2X

= −B − 2C.