M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 23. Zjistíme, jaká může být hodnost matice
A =
1 3 −2
18
2 1
1
1
x 2
1
5
3 1
2 −2
pro různé hodnoty čísla x.
25
Lineární algebra
Řešení. Standardním postupem nulujeme prvky pod hlavní diagonálou. Platí
1
3
−2
18
2
1
1
1
x
2
1
5
3
1
2
−2
-2
-x
-3
←−
↓
↓
←− ←−
↓
←− ←− ←−
∼
1
3
−2
18
0
−5
5
−35
0
2 − 3x
1 + 2x
5 − 18x
0
−8
8
−56
1
5
1
8
∼
∼
1
3
−2
18
0
−1
1
−7
0
2 − 3x
1 + 2x
5 − 18x
0
−1
1
−7
2-3x
-1
←−
↓
←− ←−←−
∼
1
3
−2
18
0
−1
1
−7
0
0
3 − x
−9 + 3x
0
0
0
0
.
Nyní pro x = 3 dostáváme matici
1
3 −2
18
0 −1
1 −7
0
0
0
0
0
0
0
0
, tedy h(A) = 2 .
Pro x 6= 3 jsou prvky 3 − x , −9 + 3x nenulové, a proto h(A) = 3 .
Definice 16. Čtvercová matice A řádu n se nazývá regulární, jestliže platí
h(A) = n, tj. jestliže její hodnost je stejná jako její řád. Není-li matice A regulární,
říkáme, že je singulární. Pak h(A) < n a číslo n − h(A) se nazývá defekt (nebo
též nulita) matice A .
Příklad 24. Zjistíme, zda matice A =
0 −1
2
3
1 −1
2 −1 −2
je regulární nebo
singulární.
Řešení. Platí
0 −1
2
3
1 −1
2 −1 −2
-
← ∼
3
1 −1
0 −1
2
2 −1 −2
1
3
∼
1
1
3
− 1
3
0 −1
2
2 −1
−2
-2
↓
←−
∼
∼
1
1
3
− 1
3
0
−1
2
0 −
5
3
− 4
3
-5/3
←
∼
1
1
3
− 1
3
0 −1
2
0
0 −
14
3
.
Protože h(A) = 3 = n, je daná matice regulární.
Příklad 25. Určíme nulitu matice
0
4 10
1
4
8 18
7
10 18 40 17
1
7 17
3
.
26
2. Matice
Řešení. Platí
0
4 10
1
4
8 18
7
10 18 40 17
1
7 17
3
-
.
∼
1
7 17
3
0
4 10
1
4
8 18
7
10 18 40 17
-4
-10
↓
↓
←−
↓
←− ←−
∼
∼
1
7
17
3
0
4
10
1
0 −20
−50
−5
0 −52 −130 −13
5
13
←−
↓
←− ←−
∼
1 7 17 3
0 4 10 1
0 0
0 0
0 0
0 0
.
Daná matice má tedy hodnost 2. Protože její řád je 4, jedná se o singulární