M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Definice 17. Nechť A je daná čtvercová matice. Existuje-li matice Z tak, že platí
A · Z = Z · A = E, kde E je jednotková matice, nazýváme Z inverzní maticí k
dané matici A a značíme Z = A−1.
Poznámka 15. Otázka inverze matic se někdy pojímá obecněji (inverze
zprava resp. zleva, pro obdélníkovou matici), tím se však v tomto textu zabý-
vat nebudeme.
Příklad 26. Matice
1
4
1
4
3
4
− 1
4
je inverzní k matici
1
1
3 −1
,
neboť platí
1
1
3 −1
·
1
4
1
4
3
4
− 1
4
=
1
4 +
3
4
1
4 −
1
4
3
4 −
3
4
3
4 +
1
4
=
1 0
0 1
a rovněž
1
4
1
4
3
4
− 1
4
·
1
1
3 −1
=
1
4 +
3
4
1
4 −
1
4
3
4 −
3
4
3
4 +
1
4
=
1 0
0 1
.
Dále se budeme zabývat otázkou existence a jednoznačnosti inverzní matice.
Platí následující tvrzení, jehož důkaz provedeme v kapitole 3.
28
2. Matice
Věta 7. Inverzní matice k matici A existuje, právě když matice A je regulární.
K singulární matici tedy inverzní matice neexistuje. Definice 17 a ani uvedená
věta nevylučuje možnost existence více inverzních matic k regulární matici A.
Platí však tato věta o jednoznačnosti inverzní matice.
Věta 8. Nechť A je regulární matice. Potom k ní existuje právě jedna inverzní
matice.
Důkaz: Předpokládejme, že k matici A existují dvě inverzní matice např. B a C. Pak
platí A · B = B · A = E i A · C = C · A = E. Odtud dostáváme rovnost B = B · E =
B · (A · C) = (B · A) · C = E · C = C.
Nyní si uvedeme některé vlastnosti inverzních matic.
Věta 9. Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu a k 6= 0 reálné číslo.
Pak platí
1. Inverzní matice k jednotkové matici je jednotková matice, tj. E−1 = E.
2. Jestliže A−1 je inverzní matice k matici A, je obráceně A inverzní matice