M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A | E
(A1 · A | A1 · E)
(A2 · A1 · A | A2 · A1 · E)
. . .
. . .
(Ap · · · A2 · A1 · A
|
{z
}
E
| Ap · · · A2 · A1 · E
|
{z
}
A−1
)
Protože E = A−1 · A, je zřejmě Ap · · · A2 · A1 = A
−1, a to je právě matice na pravé
straně.
Z předchozího plyne, že tytéž řádkové úpravy, které převedly regulární matici
A na jednotkovou matici E, převedou, provedeny v témže pořadí, jednotkovou
matici E na matici inverzní A−1.
Příklad 27. Vypočtěme inverzní matici k matici A =
2
2 3
1 −1 0
−1
2 1
.
Výpočet provedeme ve tvaru tabulky. Připojíme kontrolní sloupec Σ, ve kte-
rém je součet všech čísel téhož řádku. Provedeme-li příslušnou řádkovou elemen-
tární úpravu i v tomto kontrolním sloupci, musí se opět součet v příslušném řádku
shodovat s nově vzniklým číslem v kontrolním sloupci.
30
2. Matice
A
E
Σ
Poznámka
2
2
3
1
0
0
8
1
-1
0
0
1
0
1
Vyměníme první a druhý řádek.
-1
2
1
0
0
1
3
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
-1
0
0
1
0
1
První řádek vynásobíme (−2)
2
2
3
1
0
0
8
a přičteme k druhému řádku.
-1
2
1
0
0
1
3
První řádek přičteme ke třetímu.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
-1
0
0
1
0
1
0
4
3
1
-2
0
6
Vyměníme druhý a třetí řádek.
0
1
1
0
1
1
4
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .