M01 - Základy lineární algebry

Nechť h(A) = r. Označme a1 = (a11, a12, . . . , a1n), a2 = (a21, a22, . . . , a2n), . . . ,

ar = (ar1, ar2, . . . , arn) maximální počet r lineárně nezávislých řádkových vektorů ma-
tice A . Máme ukázat, že pak také vektory a1, a2, . . . , ai, . . . , kai + aj, . . . , ar jsou line-
árně nezávislé. Tj. že rovnost α1a1 +α2a2 +. . .+αiai +. . .+αj(kai +aj)+. . .+αrar = o
platí, jen když αk = 0 pro k = 1, 2, . . . , r . Úpravou dostaneme α1a1 +α2a2 +. . .+(αi +
αjk)ai+. . .+αjaj+. . .+αrar = o . Protože vektory ak , k = 1, 2, . . . , r jsou podle před-
pokladu lineárně nezávislé, platí α1 = α2 = . . . = αi + αjk = . . . = αj = . . . = αr = 0 .
Protože αi + αjk = 0 a αj = 0 , je také αi = 0 . Takže αk = 0 pro k = 1, 2, . . . , r. To
však znamená, že vektory a1, a2, . . . , kai + aj, . . . , ar jsou lineárně nezávislé.

Poznámka 12. Z předchozí věty plyne, že když schodovitá matice B vznikne

z matice A elementárními úpravami, pak h(A) = h(B). Hodnost matice B se
zjistí snadno. Je zřejmě rovna počtu řádků, které obsahují aspoň jeden nenulový
prvek. Tak dostáváme jednu z nejběžnějších metod zjišťování hodnosti matice.
Všimněme si ještě, že se můžeme omezit např. jen na řádkové úpravy, protože
platí toto tvrzení.

Věta 6. Pro každou matici A platí h(A) = h(AT ), tj. hodnost matice se rovná
hodnosti transponované matice.

Příklad 20. Určíme hodnost matice

1

3 2 0

5

2

6 9 7 12

−2 −5 2 4