M01 - Základy lineární algebry

,

kterému je přiřazeno číslo a11a22 − a12a21, se nazývá determinant druhého
řádu.

41

Lineární algebra

Poznámka 1. Prvky aij mohou mít i obecnější charakter (srovnej poznámku

1 v kapitole 1.).

V definici ztotožňujeme číslo se schematem, tj. klademe

a11 a12
a21 a22

= a11a22 − a12a21.

Tento přechod od schematu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determi-
nantu a samotné číslo hodnotou determinantu.

Obrázek 3.1: Křížové pravidlo

Vezmeme součin prvků v hlavní diagonále determinantu a odečteme součin

prvků ve vedlejší diagonále. Tento postup se nazývá křížové pravidlo.

Po zavedení pojmu determinantu 2. řádu můžeme řešení (∗∗) uvažované sou-

stavy rovnic (∗) zapsat ve tvaru

x1 =

b1 a12
b2 a22

a11 a12
a21 a22

,

x2 =

a11 b1
a21 b2

a11 a12
a21 a22

,

což jsou tzv. Cramerovy vzorce pro soustavu dvou lineárních rovnic o dvou nezná-
mých. Ve jmenovateli je determinant vytvořený z koeficientů soustavy a v čitateli
je u x1 determinant, kde jsme první sloupec nahradili sloupcem pravých stran
a u x2 determinant, kde jsme druhý sloupec nahradili sloupcem pravých stran.
Přitom jsme předpokládali, že determinant soustavy vytvořený z koeficientů je
různý od nuly.

Příklad 1. Najdeme řešení soustavy rovnic

2x1 − 3x2 = 3

x1 + 6x2 = 4.

Řešení. Po dosazení do Cramerových vzorců platí:

x1 =

3 −3
4

6

2 −3
1

6

=

3 · 6 − (−3) · 4

2 · 6 − (−3) · 1

=

30

15

= 2 ,

42

3. Determinanty

x2 =

2 3
1 4

2 −3
1

6

=

2 · 4 − 3 · 1

2 · 6 − (−3) · 1

=

5

15

=

1

3

.

Soustava má jediné řešení x1 = 2 , x2 =

1
3 .

O správnosti řešení se můžeme přesvědčit zkouškou.

L1 :

2 · 2 − 3 ·

1
3 = 4 − 1 = 3

: P1

L2 :

2 + 6 ·

1
3 = 2 + 2 = 4

: P2

Obdobné úvahy, jaké jsme prováděli s dvěma rovnicemi o dvou neznámých,