M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
bychom mohli provést s třemi rovnicemi o třech neznámých a dospěli bychom
k pojmu determinantu třetího řádu. Místo toho zaveďme přímo definici.
Definice 2. Nechť aij, i, j = 1, 2, 3 jsou libovolná reálná čísla. Schema tvaru
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
,
kterému je přiřazeno číslo a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a13a22a31−a12a21a33−
a23a32a11 , se nazývá determinant třetího řádu.
Těchto šest součinů si můžeme snadno zapamatovat pomocí tzv. Sarrusova
pravidla – součiny rovnoběžné s hlavní diagonálou opatříme znaménkem +, sou-
činy rovnoběžné s vedlejší diagonálou opatříme znaménkem −.
Obrázek 3.2: Sarrusovo pravidlo
Příklad 2. Sarrusovým pravidlem vyčíslíme determinant
2
1
4
3
2
5
1
3
2
= 2·2·2+1·5·1+3·3·4−4·2·1−3·5·2−3·1·2 = 8+5+36−8−30−6 = 49−44 = 5
43
Lineární algebra
Pro výpočet můžeme použít i pravidla znázorněná na obrázcích.
Obrázek 3.3: Výpočet determinantu třetího řádu
Příklad 3.
2
1
4
3
2
5
1
3
2
. . . . . . .
2
1
4
3
2
5
= 2·2·2+3·3·4+1·1·5−4·2·1−5·3·2−2·1·3 = 8+36+5−8−30−6 = 49−44 = 5
2
1
4
2
1
3
2
5
3
2
1
3
2
1
3
= 2 · 2 · 2 + 1 · 5 · 1 + 4 · 3 · 3 − 4 · 2 · 1 − 2 · 5 · 3 − 1 · 3 · 2 =
= 8 + 5 + 36 − 8 − 30 − 6 = 49 − 44 = 5
3.2
Vlastnosti determinantů
Determinanty mají určité vlastnosti, které nyní uvedeme a podrobně rozebereme
pro determinanty 2. řádu a ilustrujeme příkladem pro determinanty 3. řádu.
44
3. Determinanty
1. (Rovnoprávnost řádků a sloupců) Hodnota determinantu se nemění,
vyměníme-li sloupce za řádky (tzv. transponování).
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21 =
a11 a21
a12 a22
Příklad 4.
2 1 −1
0 3 −2
1 2
0
= −2 + 3 + 8 = 9 ,
2
0 1
1
3 2
−1 −2 0
= −2 + 3 + 8 = 9