M01 - Základy lineární algebry

Plyne z vlastností 7 a 8.

Příklad 13.

−1

1

3

5

2 −3

−17 −4

1

= −2 − 60 + 51 + 102 + 12 − 5 = 98

−1

1

3

5

2 −3

−17 −4

1

-2

↓

3

← ←

=

−1 1

3

5 2

−3

0 0 −14

= 28 + 70 = 98

10. Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny

nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále.

47

Lineární algebra

a11 a12

0 a22

= a11a22 − 0 = a11a22

a11

0

0

a21 a22

0

a31 a32 a33

= a11a22a33 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = a11a22a33

Na základě vlastností, které nemění hodnotu determinantu, můžeme každý

determinant upravit tak, aby vyhovoval vlastnosti 10.

Příklad 14.

2 1

3

2 1

4

4 3 11

vlastnost 5

= 2 ·

1 1

3

1 1

4

2 3 11

-1

-2

←

↓

← ←

vlastnost 8

=

= 2 ·

1 1 3
0 0 1
0 1 5

vlastnost 5

= (−2) ·

1 1 3
0 1 5
0 0 1

vlastnost 10

= (−2)·[1·1·1] = −2

Poznámka 2. Determinant budeme stručně zapisovat |A| = |aij|. Na rozdíl

od matic používáme svislých čar.

Definice 3. Jestliže |A| = |aij| je determinant, pak subdeterminantem (mi-
norem) Aij přidruženým k prvku aij rozumíme determinant, který vznikne z de-
terminantu |A| vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce,
ve kterém leží prvek aij. Algebraickým doplňkem ¯

Aij prvku aij rozumíme

subdeterminant přidružený k prvku aij vynásobený číslem (−1)

i+j .

Platí tedy

¯

Aij = (−1)

i+j A

ij .

Příklad 15. Určíme subdeterminant a algebraický doplněk k prvku a32 v de-

terminantu

|A| =

1 −3 2

−2

3 1

3 −2 2

.

Řešení. Pro a32 = −2 platí

1 −3| 2

−2

3| 1

3

-2

2

, tedy A32 =

1 2

−2 1

= 1 + 4 = 5,

48

3. Determinanty

¯

A32 = (−1)

3+2

1 2

−2 1

= −(1 + 4) = −5.

Věta 1. Determinant je roven součtu součinů prvků libovolného (ale pevně
zvoleného) řádku (sloupce) s příslušnými algebraickými doplňky. Tj.