M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
řádku (sloupce), ve kterém je co nejvíce nul, srovnej příklady 16 a 17. Proto se
pro výpočet hodnoty determinantu vyššího řádu používá vlastností determinantů
k úpravám tak, aby v některém řádku (sloupci) determinantu byly až na jeden
prvek samé nuly.
Příklad 18. Najdeme hodnotu determinantu z předcházejícího příkladu po-
mocí úprav.
Řešení. Platí
2 1
0
8
2 2
1
10
−2 2
2 −1
4 3 −1
19
= 2 ·
1 1
0
8
1 2
1
10
−1 2
2 −1
2 3 −1
19
= 2 ·
1 1
0 8
0 1
1 2
0 3
2 7
0 1 −1 3
.
52
3. Determinanty
Při úpravách byla z 1. sloupce vytknuta 2, potom od 2. řádku odečten 1. řádek,
ke 3. řádku přičten 1. řádek a od 4. řádku odečten dvojnásobek 1. řádku.
Nyní rozvojem podle 1. sloupce dostaneme
= 2 · 1 · (−1)
(1+1)
1
1 2
3
2 7
1 −1 3
= 2 · (6 − 6 + 7 − 4 + 7 − 9) = 2 · 1 = 2 .
Příklad 19. Vypočteme
1 0 −5 −1
2 3 −1
2
3 1 −1
0
−2 1
2
1
.
Řešení. Determinant upravíme tak, aby pod hlavní diagonálou byly samé nuly.
Platí
1 0 −5 −1
2 3 −1
2
3 1 −1
0
−2 1
2
1
-2
-3
2
←−
↓
↓
←− ←−
↓
←− ←− ←−
=
1 0 −5 −1
0 3
9
4
0 1
14
3
0 1 −8 −1
←
←
=
= −
1 0 −5 −1
0 1 −8 −1
0 1
14
3
0 3
9
4
-1
-3
←−
↓
←− ←−
= −
1 0 −5 −1
0 1 −8 −1
0 0
22
4
0 0
33
7
→
=
= (−2) ·
1 0 −5 −1
0 1 −8 −1
0 0
11
2
0 0
33
7
-3
←
= (−2) ·
1 0 −5 −1
0 1 −8 −1
0 0
11
2
0 0
0
1
=
= (−2) · 1 · 1 · 11 · 1 = −22 .
3.4
Užití determinantů
Determinanty mají četná použití v různých oborech matematiky a v aplikacích.
My jsme se v úvodu seznámili s jejich použitím při řešení soustav lineárních
rovnic. O tzv. Cramerově pravidle budeme ještě podrobně mluvit ve 4. kapitole.
Nyní si ukážeme, jak se determinanty dají použít v maticovém počtu. Začneme
hodností matice.