M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
¯
A1n
¯
A2n . . .
¯
Ann
.
a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
=
55
Lineární algebra
=
1
|A|
|A|
0
. . .
0
0
|A| . . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
. . .
|A|
=
1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . . . . . . . . . . .
0
0
. . .
1
= E.
Přitom jsme využili toho, že platí ai1 ¯
Ai1 + ai2 ¯
Ai2 + . . . + ain ¯
Ain = |A| (rozvoj determi-
nantu podle i-tého řádku); a dále, že pro i 6= j platí ai1 ¯
Aj1 + ai2 ¯
Aj2 + . . . + ain ¯
Ajn = 0
(rozvoj determinantu, který má i-tý a j-tý řádek stejný, podle j-tého řádku).
Příklad 23. Určíme popsanou metodou inverzní matici k matici
A =
2
1 −3
1 −1
2
1
2 −2
.
Řešení. Platí ¯
A11 = (−1)
1+1
−1
2
2 −2
= 2 − 4 = −2 ,
¯
A12 = (−1)
1+2
1
2
1 −2
= −(−2 − 2) = 4 ,
podobně ¯
A13 = 3, ¯
A21 = −4, ¯
A22 = −1, ¯
A23 = −3, ¯
A31 = −1, ¯
A32 = −7, ¯
A33 =
−3.
Hodnotu determinantu |A| vypočítáme např. rozvojem podle 1. řádku.
|A| = a11 ¯
A11 + a12 ¯
A12 + a13 ¯
A13 = 2 · (−2) + 1 · 4 + (−3) · 3 = −9 . Tedy
A
−1 =
1
|A|
· adjA =
1
|A|
¯
A11
¯
A21
¯
A31
¯
A12
¯
A22
¯
A32
¯
A13
¯
A23
¯
A33
=
=
1
−9
−2 −4 −1
4 −1 −7
3 −3 −3
=
2
9
4
9
1
9
− 4
9
1
9
7
9
− 1
3
1
3
1
3
.
Zkouška. Ověříme, že A · A−1 = E. Platí
2
1 −3
1 −1
2
1
2 −2
·
−1
9
·
−2 −4 −1
4 −1 −7
3 −3 −3
=
−1
9
·
−9
0
0
0 −9
0
0
0 −9
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Poznámka 7. Popsaná metoda má hlavně teoretický význam. Pro praktický
výpočet se však nehodí. Je zřejmé, že počítat takto inverzní matice pro matice
vyšších řádů je spojeno s početními obtížemi při vyčíslování n2 determinantů
řádu n − 1.