M01 - Základy lineární algebry

Definice 1. Systém m lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn má tvar

a11x1

+

a12x2

+ . . . +

a1nxn

=

b1

a21x1

+

a22x2

+ . . . +

a2nxn

=

b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,

kde čísla aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n jsou koeficienty u neznámých
x1, x2, . . . , xn ∈ R a čísla b1, b2, . . . , bm ∈ R jsou absolutní členy daného
systému.

Matici koeficientů

A =

a11

a12

. . .

a1n

a21

a22

. . .

a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

nazýváme maticí soustavy. Přidáme-li k ní sloupec absolutních členů (pravých
stran), získáme tzv. rozšířenou matici soustavy

Ar =

a11

a12

. . .

a1n

b1

a21

a22

. . .

a2n

b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

am1 am2 . . . amn bm

.

Označíme-li

vektor neznámých

X =

x1
x2

..

.

xn

,

vektor pravých stran

B =

b1
b2

..

.

bm

,

61

Lineární algebra

můžeme soustavu psát v maticovém tvaru

A · X = B.

Je-li alespoň jeden z absolutních členů různý od nuly, nazývá se soustava A · X =
B nehomogenní. Jestliže b1 = b2 = . . . = bm = 0, hovoříme o homogenní
soustavě.

Poznámka 1. Soustava A · X = B se dá rovněž zapsat v tzv. řádkovém tvaru

XT · AT = BT . Vzhledem k tomu budeme řešení systému většinou zapisovat ve
tvaru řádkového vektoru, což je typograficky jednodušší.

V souvislosti se systémem A · X = B se budeme zajímat o tyto problémy:

1. Je systém řešitelný?