M01 - Základy lineární algebry

Tvar

2 1 5
0 0 0

!

vede k situaci, kdy jednu neznámou můžeme volit, např.

x1 a druhou dopočítat x2 = 5 − 2x1. V tomto případě je hodnost matice soustavy
i rozšířené matice soustavy rovna 1.

V případě

2 1

5

0 0 −3

!

jde o neřešitelnou soustavu. Žádné hodnoty nezná-

mých nezajistí splnění druhé rovnice. Povšimněme si, že hodnost matice soustavy
je 1 a rozšířené matice soustavy 2.

Na otázky týkající se existence a počtu řešení soustavy A · X = B dává

odpověď následující tvrzení.

Věta 2. (Frobeniova nebo též Kroneckerova-Capelliova věta) Systém lineár-
ních algebraických rovnic A · X = B má řešení, právě když matice soustavy a
rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar) = h.
Pro h = n má systém právě jedno řešení; pro h < n má systém nekonečně
mnoho řešení, přičemž hodnoty vhodných n − h neznámých lze libovolně volit
jako parametry.

Důkaz: Nutná podmínka. Nechť soustava A · X = B má řešení (r1, r2, . . . , rn). Pak

platí

a11r1

+

. . .

+

a1nrn

=

b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1r1 + . . . + amnrn = bm,

neboli

a11

..

.

am1

· r1 + . . . +

a1n

..

.

amn

· rn =

b1

..

.

bm

.

Je tedy sloupec absolutních členů lineární kombinací sloupců matice A. Lze tedy sloupec
pravých stran rovnic z rozšířené matice systému vynechat, aniž se změní její hodnost.
Pak však dostaneme matici soustavy A, takže platí h(Ar) = h(A).

64

4. Systémy lineárních algebraických rovnic

Postačující podmínka. Nechť pro hodnosti platí h(A) = h(Ar) = h. Pak v matici

A existuje nenulový subdeterminant řádu h, který je zároveň nenulovým subdetermi-
nantem v matici Ar. Přečíslováním rovnic a neznámých lze vždy dosáhnout toho, aby
uvažovaný minor byl vytvořen z prvních h řádků a prvních h sloupců matice A. Pak
ze soustavy A · X = B můžeme dostat soustavu