M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4.3
Řešení homogenních systémů
Uvažujme homogenní soustavu m lineárních algebraických rovnic pro n nezná-
mých A · X = O, tj. podrobněji rozepsáno
a11x1
+
a12x2
+ . . . +
a1nxn
=
0
a21x1
+
a22x2
+ . . . +
a2nxn
=
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0.
69
Lineární algebra
Tato soustava má vždy řešení, protože hodnost matice soustavy je vždy rovna
hodnosti matice rozšířené (díky poslednímu sloupci nul).
Je-li hodnost rovna počtu neznámých, tj. h(A) = n, pak má systém A · X = O
jediné řešení X = (0, 0, . . . , 0) tzv. nulové neboli triviální řešení.
Jestliže h(A) < n , pak má soustava nekonečně mnoho řešení, která závisejí
na n − h parametrech a která můžeme najít např. některou eliminační metodou.
Příklad 8. Najdeme řešení soustavy lineárních homogenních rovnic
x1 + 2x2 + x3 −
x4 = 0
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3
= 0.
Řešení. Použijeme Jordanovu eliminační metodu. Platí
1 2
1 −1 0
2 3 −1
2 0
4 7
1
0 0
∼
1
2
1 −1 0
0 −1 −3
4 0
0 −1 −3
4 0
∼
1
0 −5 7 0
0 −1 −3 4 0
0
0
0 0 0
∼
∼
x1 x2
x3
x4 b
1
0 −5
7 0
0
1
3 −4 0
0
0
0
0 0
∼
x1 x2
x3
x4
1
0
5 −7
0
1 −3
4
0
0
0
0
.
Z úprav plyne, že h(A) = h(Ar) = 2. Soustava má nekonečně mnoho řešení,
která závisejí na volbě n − h = 4 − 2 = 2 volitelných neznámých. Řešení je tvaru
x1 = 5u − 7v, x2 = −3u + 4v, x3 = u, x4 = v, kde u, v ∈ R.
Pro homogenní soustavu o stejném počtu rovnic a neznámých platí toto tvr-