M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Daný systém má tedy nekonečně mnoho řešení. Je tvaru x1 = s − 3t + 2, x2 =
2s + t − 1, x3 = s, x4 = t, kde s, t ∈ R.
K výsledku můžeme dospět také úpravou přímo v matici (Jordanovou meto-
dou) tak, že x3 a x4 převedeme za svislou čáru v Ar. Pozor na změnu znaménka!
x1 x2
b x3
x4
1
1
1
3
−2
0
1
−1
2
1
∼
x1 x2
b x3
x4
1
0
2
1
−3
0
1
−1
2
1
67
Lineární algebra
Odtud vidíme, že platí x1 = 2 + x3 − 3x4, x2 = −1 + 2x3 + x4. Při volbě
x3 = s, x4 = t opět dostaneme stejný tvar řešení jako Gaussovou eliminační
metodou.
Příklad 7. Vyřešíme systém rovnic
−x1 + t · x2 +
3x3 = −1
−2x1 +
x2 + t · x3 = −3
x1 −
5x2 −
7x3 =
0
a provedeme rozbor řešení vzhledem k parametru t.
Řešení. Nejprve zjistíme, pro které hodnoty parametru t je matice soustavy
regulární. Stanovíme proto hodnotu determinantu matice soustavy. Platí
|A| =
−1
t
3
−2
1
t
1 −5 −7
=
0 t − 5
−4
0
−9
t − 14
1
−5
−7
=
t − 5
−4
−9
t − 14
=
= (t − 5)(t − 14) − 36 = t
2 − 14t − 5t + 70 − 36 = t2 − 19t + 34 = (t − 2)(t − 17).
Odtud |A| 6= 0 pro 2 6= t 6= 17 . Musíme tedy vyšetřit zvlášť tři případy.
1. Pro hodnoty parametru t různé od 2 a 17 můžeme hledat řešení např.
pomocí Cramerova pravidla. Platí
|A1| =
−1
t
3
−3
1
t
0 −5 −7
=
−1
t
3
0 1 − 3t t − 9
0
−5
−7
= −
1 − 3t t − 9
−5
−7
=
= −[−7(1 − 3t) + 5(t − 9)] = −(−7 + 21t + 5t − 45) = 52 − 26t = 26(2 − t).
|A2| =
−1 −1
3
−2 −3
t
1
0 −7
=
0 −1
−4
0 −3 t − 14
1
0
−7
=
−1
−4
−3 t − 14
=
= −(t − 14) − 12 = 2 − t.