M01 - Základy lineární algebry

2. V případě, že je řešitelný, kolik má řešení?

3. Jak určit všechna řešení?

Nejprve si ujasníme, co rozumíme řešením takového systému.

Definice 2. Uspořádanou n-tici čísel X = (r1, r2, . . . , rn) nazýváme řešením
systému A·X = B, jestliže po dosazení r1 za x1, r2 za x2, . . . , rn za xn do A·X = B
dostaneme m platných identit.

Příklad 1. Systém rovnic

5x1 − 3x2 =

1

3x1 + 2x2 = 12

má řešení (2, 3), neboť po dosazení x1 = 2, x2 = 3 máme

5 · 2 − 3 · 3 =

1

3 · 2 + 2 · 3 = 12

V kapitole 3. jsme ukázali, jak lze za určitých podmínek řešit systém dvou

rovnic o dvou neznámých pomocí determinantů. Nyní tento postup zobecníme
pro případ m = n, tj. stejného počtu rovnic a neznámých.

Věta 1. (Cramerovo pravidlo) Nechť determinant matice soustavy A · X = B
je různý od nuly, tj. |A| 6= 0. Pak má daná soustava rovnic právě jedno řešení

X = (x1, x2, . . . , xn), kde

xi =

|Ai|

|A|

, i = 1, 2, . . . , n.

Přitom |Ai| jsou determinanty vzniklé z determinantu |A| nahrazením i-tého
sloupce sloupcem absolutních členů.

62

4. Systémy lineárních algebraických rovnic

Důkaz: Protože matice soustavy A je regulární (|A| 6= 0 ), existuje k ní podle věty

5 kapitoly 3 právě jedna inverzní matice A−1 . Násobíme-li rovnici A · X = B inverzní
maticí A−1 zleva, dostaneme A−1 · A · X = A−1 · B a tedy X = A−1 · B . Rozepíšeme-li
tuto rovnost podle věty 4 kapitoly 3, dostaneme

x1

..

.

xi

..

.

xn

=

1

|A|

¯

A11

¯

A21

. . .

¯

An1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¯

A1i

¯

A2i

. . .

¯

Ani

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .