M01 - Základy lineární algebry

Nyní si uvedeme, jak se pomocí determinantu dá ekvivalentně charakterizovat

regularita resp. singularita matic.

Věta 6. Čtvercová matice A je regulární, jestliže hodnota jejího determinantu
je různá od nuly. Jestliže |A| = 0, je matice A singulární.

56

3. Determinanty

Příklad 24. Ověříme regularitu matice

A =

0 −1

2

3

1 −1

2 −1 −2


 .

(Srovnej příklad 24 v kapitole 2.)

Řešení. Protože

0 −1

2

3

1 −1

2 −1 −2

= 2 − 6 − 4 − 6 = −14 6= 0 , je daná matice

regulární.

Poznámka 8. V maticovém počtu jsme se zabývali početními operacemi

s maticemi. Příslušné operace se odrážejí ve vlastnostech determinantů. Dá se
ukázat, že platí následující tvrzení.

Věta 7. Nechť A, B jsou čtvercové matice n-tého řádu a k libovolné reálné
číslo. Pak platí následující vztahy.

1. Jestliže A = B , pak |A| = |B|.

2. |kA| = kn|A|

3. |AT | = |A|

4. |A · B| = |A| · |B|

5. |A−1| =

1

|A|

Důkaz: Vlastnosti 1−3 plynou z věty 2. Důkaz vlastnosti 4 je obtížnější a přesahuje
rámec tohoto textu, proto jej nebudeme provádět. Vlastnost 5 plyne z vlastnosti 4 a
vztahu A−1 · A = E.

Na závěr tohoto odstavce můžeme dokázat následující tvrzení, které jsme již

uvedli v kapitole 2.

Věta 8. Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje, právě když matice A
je regulární.

Důkaz: Předpokládejme, že k matici A existuje inverzní matice A−1. Pak z rovnosti
A−1 · A = E plyne |A−1| · |A| = |E| = 1, takže |A| 6= 0. To znamená, že matice A
je regulární.

Předpokládejme nyní, že matice A je regulární, tj. |A|

6= 0. Pak podle věty 4

existuje inverzní matice A−1, zkonstruovaná podle vzorce A−1 =

1

|A| · adjA.

57

Lineární algebra